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키트 예이츠의 《수학으로 생각하는 힘》에서 사실 새로운 수학의 내용이 있는 건 아니다. ‘알고 보면 수학으로 이루어진 세상’이라는 표현에서도, ‘일상의 모든 순간’이라는 표현에서도 여기서 얘기할 수 있는 수학에 관한 이야기가 이미 익숙한 것일 수도, 잘 알려진 것일 수도 있다는 것을 내포하고 있다. 일상의 것들이, 세상이 수학과 관련이 있는 데도 그것이 아직도 이야기하지 않은 것이라는 게 놀라운 일 아니겠는가.

여기서 다루는 것들은 다음과 같은 것들이다.

기하급수적으로 증가하거나 감소하는 사례의 놀라움과 위험성 - 이를테면 체르노벨 원전 사건이나 미술품의 연대 측정 방법, 인구 폭발의 비밀 같은 것들.

암 진단을 받았을 때의 침착하게 대응할 수 있는 ‘수학적’ 센스(간단히 표현하자면 조건부 확률)와 진단 검사의 정확도를 높이기 위한 방법(쉽다! 두 번 검사하면 된다!).

법정에서 오용된 수학, 통계의 사례. 이는 드레퓌스 사건이라든가, 영아돌연사 사건이라든가, 아만다 녹스의 사건 같은 경우인데, 《법정에 선 수학》 같은 책을 비롯한 많은 책에서 다루었던 문제다.

통계에 속지 않는 법에서는 교실 안이나 술집에서 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률과 같은 고전적인 문제와 대선의 여론 조사, 평균회귀와 같은 통계의 함정 등을 다룬다. 거기에 과학과 의학에서의 트릭!

또 수 체계(십진법이라든가 12진법, 2진법 등) 때문에 곤경에 빠지는 경우와 단위 문제(우리는 별로 겪지 않는 문제인데, 미국이나 그보다는 조금 드물게 영국에서는 매우 심각하다).

알고리즘과 최적화의 문제-알고리즘으로 결정한다는 것은 이미 그 알고리즘을 구상하고 짠 인간의 선택이 들어 있는 문제.

그리고 팬데믹 시대의 수학.

이렇게 보면 모두 익숙하다는 것을 알 수 있다. 다른 책에서 다루지 않는 것은 없다. 세상에 새로운 것은 없다고 보면 될 터인데, 그럼에도 이 책이 신선한 점은 다루는 예에 있다. 이를테면 생일 문제에서, 키트 예이츠는 바로 생일 문제로 시작하는 것이 아니라(많은 교양 수학책이 그렇다), 이슬람 광신도의 테러 문제와 그에 대한 진부하고 그릇된 해석을 이야기한다. 주로 유방암 진단을 예로 들고 있는 조건부 확률에 대한 이야기는(물론 그 이야기도 하지만) 시대에 맞추어 개인 유전자 검사에 대한 얘기로 시작한다. 이렇게 ‘수학으로 이루어진 세상’에 대한, 어쩌면 잘 알려진 얘기를 하면서도 참신함을 유지할 수 있다. 이를 통해 이미 많이 소개된 예마저도 잘 이해할 수 있다.

그러나 이 책에서 가장 주목할 만한 장은 마지막 장이다. 이 책은 COVID-19 팬데믹 이전에 쓰였지만, 그래서 그 단어는 하나도 나오지 않고, 천연두, 에볼라, 홍역, 수두, 인플루엔자 등에 대해 다루고 있지만 마치 COVID-19를 경험하면서 쓰는 것 같은 느낌을 준다. 즉, 지금의 이 사태는 매우 특별한 것이긴 하지만 역시 수리역학을 통해서 설명할 수 있고, 이해할 수 있는 상황이라는 얘기다(참고로 그는 수학자인데, 좀 더 자세히 얘기하자만 수리생물학이 전공이다). 다음과 같은 문장은 바로 지금 저자가 이 부분을 쓰고 있다고 하더라도 바꿀 단어가 별로 없을 것이다.

“하지만 검역과 격리는 전파율을, 따라서 그와 함께 유효 재생산 지수를 줄이는 데 아주 효과적인 방법이 될 수 있다. 감염자를 격리하면 확산 속도를 줄일 수 있고, 건강한 사람을 격리하면 유효 감염 대상군을 줄일 수 있다.” (339쪽)

키트 예이츠는 수학의 힘을 이용하여 도움을 받기를, 그리고 수학을 잘못 사용하는 이들의 권위에 도전할 것을 이야기한다. 수학을 통해 최선의 선택을 하고, 최악의 실수를 피할 수 있기 해며, 변화에 대해 냉정하게 대처할 수 있도록 하고, 자동화의 시대에 현실에 적응하는 데 도움을 얻을 수 있다. 그리고 수학을 이해한다면 확실성의 착각을 깨뜨리고, 비율 편향, 잘못된 틀 짓기, 표본 추출 편향을 이해하여 신문이나 정치인들, 광고의 통계 수치가 반쪽의 진실, 혹은 완벽한 거짓임을 파악할 수 있다. 그리고 백신이야말로 생명을 구할 수 있고, 치명적인 질병으로부터 인류를 구할 수 있다는 것을 ‘수학적으로’ 이해할 수 있다.

수학은, 때로는 생사가 달린 문제이다. 그러니 우리는 그것을 이해하고, 또 속지 말아야 한다.

"수학에 힘을 실어주기 위한 싸움 중 절반은 그 무기를 휘두르는 사람들의 권위에 용감하게 의문을 제기하는 것이다. - 확실성의 착각을 깨뜨리면서 절대 위험도와 상대 위험도, 비율 편향, 잘못된 틀 짓기, 표본 추출 편향을 제대로 이해하면, 신문 헤드라인이 제시하는 통계 수치나 광고들이 내세우는 '연구 결과', 정치인의 입에서 나오는 반쪽 진실을 의심하는 힘을 얻게 된다 생태학적 오류와 종속 사건을 이해하려면 혼동을 야기하는 연막을 흩뜰는 데 도움을 줌으로써 법정에서건 교실에에서건 병원에서건 수학적 논증으로 우리를 속이기가 더 힘들어진다"(356)

그러니 더이상 속지않기 위해서라도 수학에 관심을 기울이자. 내가 이해하기 힘들다면 믿을 수 있는 수학자를 찾는 노력이라도 해야한다. 이게 무슨 말이냐,라고 궁금하다면 이 책의 첫장을 펼쳐주시라. 아니 사실 수학적 관심은 커녕 이 세상에 대한 관심이 없다 하더라도 적어도 어리석게 속아넘어가지 않기 위해서라도 이 책을 읽어보기를 권한다.

통계 수치만 내밀면 뭐라 반박하기 힘들어지고 세상 살아가는데 수학이 뭐 필요하냐는 이야기에도 딱히 속시원하게 대답할 수가 없었다. 그런데 이 책을 펼치면서 또 다른 신세계를 본다. 명확하게 설명하기 힘들었던 부분들을 이야기하듯 쉽게 예제를 풀어가면서 설명해주고 있기 때문이다. - 사실 이렇게 쓰면서도 내가 책을 읽고 이해했다면 다른 사람들에게도 더 쉽게 설명을 해 줄 수 있어야 하는데 아직은 못할 것 같다. 이건 오랫만에 책읽고 책에 대해 여러 사람들과 이야기해보고 싶다는 생각이 드는 이유 중 하나이기도 하다. 

이 책은 수학에 대한 이야기이지만 제목에서부터 괜히 주눅들게 하는 '수학'으로 생각하는 힘, 을 빼고 우리 사회의 거짓과 진실이라는 부분을 생각해본다면 그냥 세상의 부조리한 이야기 안에 담겨있는 진실을 찾는 힘이 된다. 한가지 사안에 대한 통계 수치가 나왔을 때 그 수치를 어떤 관점으로 이해하느냐에 따라 주장이 달라지고 해결책 역시 완전히 달라진다. 통계수치를 선별적으로 제한함으로써 수치를 싸그리 무시하거나 전혀 다른 방향으로 진실을 감춰버릴 수 있는 것이다. 쉽게 말하자면 의사 수 부족,이라는 말에 대해서도 각자가 생각하는 것이 달라질 수 있다는 것이다. 그러니 수학은 어려워,라며 피할 것이 아니라 수학적으로 표시되는 수치, 통계, 확률 등에 대해 전문적으로 올바르게 적용되고 이야기 되고 있는지 알기 위해서 우리의 관심을 멈추면 안되는 것이다.

엊그제 차이나는 클라스 라는 티비 프로그램에 수학자 김민형 교수가 나와 강의를 하는데, 어려운 수학을 다 이해하지 못하면서도 공부를 해야하는 이유에 대해 그나마라도 공부를 하면 학습 완성도가 훨씬 높아진다고 했다. 어렵다고 하지 않아버리면 30%의 능력치가 되지만 그래도 한다면 60%는 된다던가... 아니, 내 식대로 이해한 바를 말하자면 학창시절 피타고라스의 정리에 대한 논리 증명을 지금 다 잊어버리고 살아가면서 그걸 몰라도 상관없는 것이기는 하지만 그때부터 논리적인 사고를 하는 즐거움과 진리증명이 얼마나 위대한 것인가를 안다는 것은 세상을 살아가는데 소중한 것이라는 의미,임을 말하고 싶다. 

다단계의 모순에서부터 확률과 통계를 제대로 적용하지 못했을 경우 죄없는 사람을 감옥에 가둬버릴수도 있고 무고한 생명을 희생시켜버릴 수도 있다는 경각심을 가져야 한다. 그런 내용은 이 책을 읽으면 확실히 알 수 있다. 팬데믹 시대에 사회적 거리두기가 필요한 이유도, 미국에서 흑인이 경찰에 의해 사망하는 숫자가 다른 사망자의 숫자보다 작다는 단순 비교로 별 것 아닌것처럼 이야기하면 안된다는 내용도 모두 이해할 수 있다. 그러니 부디 이 책을 읽어보시라."일상의 모든 순간, 수학은 최선의 선택을" 하는데 도움을 줄 것이다. 

만약 어떤 기간의 시간을 지금까지 살아온 시간에 대한 비율로 판단한다면, 지각된 시간의 기하급수적 증가 모형이 이치에 닿아 보인다. 34세인 나에게 1년은 지금까지 살아온 생애의 3% 미만에 해당한다. 요즘 들어 내 생일은 너무 빨리 돌아오는 것처럼 느껴진다. 그러나 열 살 꼬마는 다음번 생일 선물을 받을 때까지 살아온 생애의 10%를 기다려야 하며, 그러려면 거의 성인에 가까운 인내가 필요하다. 네 살인 내 아들이 생일을 다시 맞이하려면 지금까지 살아온 생애의 4분의 1을 더 기다려야 하는데, 그것은 참을 수 없는 일처럼 보인다. 이 기하급수적 모형에서 네 살 꼬마가 다음 생일이 될 때까지 경험하는 시간은 40세인 사람이 50세가 될 때까지 기다리는 시간과 맞먹는다. 이러한 상대적 관점에서 바라보면, 나이가 들수록 시간이 가속되는 느낌이 드는 것은 충분히 이치에 닿는다.
--- p.63, 「1장 눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상」 중에서

신의 방정식은 어떤 의약품이 환자에게 제공하는 여분의 ‘건강 혜택’을 저울 한쪽에, 그리고 국가보건서비스가 지불해야 하는 여분의 비용을 반대쪽에 올려놓고 비교한다. 여분의 건강 혜택을 평가하기는 어렵다. 예를 들어 심장병 발병을 감소시키는 의약품의 이점과 암 환자의 생명을 연장시키는 의약품의 이점을 어떻게 비교할 수 있겠는가?
(중략) ‘신의 방정식’은 삶과 죽음이 달린 어려운 결정을 우리의 주관적인 손에서 떼어내 객관적인 수학 공식의 통제를 받게 하려는 시도로 볼 수 있다. 이 관점은 수학의 공평무사함과 객관성을 강조하는 듯이 보이지만, 의사 결정 과정의 초기 단계에서 삶의 질과 비용 효과 문턱값에 대한 판단 뒤에 숨어서 작용하는 주관적 결정을 무시한다.
--- p.89-90, 「2장 암 진단을 받고도 침착을 유지하려면」 중에서

우리는 살다보면 통계나 수학적 함수 등을 자신에게 일부러 유리하게 표현하는 일부 지식인들이나, 아니면 그 잘못된 표현방식을 인지하지 못한 채 잘못을 저지르고 있는 경우를 많이 보게 되는데, 그러한 사례들을 제시하여 우리에게 생각하는 힘을 길러주는 좋은 책이 출간되었네요.

나이가 들수록 시간이 빨리 흐른다는 말들을 하는데, 이것에 대해서도 그 이유를 알 수 있어요. 이것은 나이를 먹을수록 대사 속도가 느려지고 심장박동, 호흡도 느려지기 때문이라는 이론도 있고, 새로운 자극이 많을수록 뇌가 정보를 처리하는 데 시간이 많이 걸리기 때문이라는 이론도 있어요. 시간을 어린아이처럼 느리게 가게 하고 싶다면, 어린이처럼 새롭고 다양한 경험을 많이 하면 된답니다. 인생을 재미있게 살기 위해 노력해 보아요. ^^

“수학으로 생각하는 힘 (키트 예이츠 著, 이충호 譯, 웅진지식하우스, 원제 : The Maths of Life and Death - 7 Mathematical Principles That Shape Our Lives)”을 읽었습니다. 최근 수학과 관련한 대중 과학 서적이 많이 출간되고 있는데 이 책 역시 수학을 주제로 한 대중과학서적 중 하나입니다. 

저자인 키트 예이츠 (Kit Yates)는 옥스포드 대학에서 수학 박사 학위를 취득하고 현재 배스 대학에서 교수로 일하고 있는 수리생물학자이면서 과학 커뮤니케이터로 활발하게 활동하고 있는 분이라고 합니다.  

이 책이 다른 수학 관련 대중 과학서와의 가장 큰 차이는 수학적 개념을 실제의 사례에 녹여 내어 이야기를 들려준다는 점입니다. 그리고 이러한 사례와 이야기들을 통해 독자가 수학적 개념, 도구, 사고 방식에 보다 익숙해질 수 있도록 도와줍니다. 그러면 이 책에서 저자가 들려주는 이야기를 몇 가지만 소개해드리도록 하겠습니다.

‘전염병 예방에 도움을 주는 수학’

최근 COVID-19가 아주 기승입니다. 덕분에 이러한 전염병에 대한 학문은 의학의 영역이기도 하지만 수학의 영역에도 걸쳐 있다는 사실을 이제는 많은 사람들이 알게 되기도 했습니다. 그동안 이러한 수리역학은 HIV를 비롯한 수많은 감염병의 확산에 대항하는 싸움에서 매우 중요한 역할을 해 왔고 지금도 COVID-19를 비롯한 감염병의 확산 패턴을 읽어내기 위한 수학자들의 노력은 계속되고 있습니다.

‘질병 확산 모델 S-I-R 모형’

스코틀랜드 출신의 의사인 앤더슨 매켄드릭 (Anderson Gray McKendrick, 1876~1943)은 인도 봄베이의 페스트 발병 데이터에서 영감을 얻어 질병 확산에 관한 수학 모형을 만들었는데 이것을 바로 S-I-R 모형이라고 합니다. 

S-I-R 모형은 개인의 질병 상태에 따라 인구 집단을 세가지 범주로 구분하는데 아직 질병에 걸리지 않은 ‘감염대상군 (Susceptibles)’, 질병에 감염되어 감염대상군(S)에 질병을 옮길 가능성이 있는 ‘감염군 (Infectives)’, 그리고 질병에 걸렸다가 회복되어 면역을 획득하였거나 사망한 ‘제거군 (Removed)’이 바로 그 범주입니다. 이러한 모형은 질병의 감염 경로 및 확산 상황에 대해 설명이 가능하다는 장점도 있지만 무엇보다 예측 능력이 뛰어나다는 점에 더 큰 장점입니다.  특히 돌발 발벙의 폭발적 동영학을 예측하고 불가사의해 보이는 질병의 진행 패턴을 예측 가능하게 만들어주었다고 합니다.  

저자는 수학 모형은 일상적인 상황의 이해에 도움을 주지만 반드시 방정식이나 코드의 형태가 피요한 것은 아니라고 이야기하고 있습니다. 그는 가장 기본적인 수준에서 수학은 패턴이라고 말할 수 있기 때문에 주변 세계를 지배하는 규칙을 이야기하고 이해하는 것으로 수학적 영향력을 체감할 수 있다고 합니다. 그래서 그는 이 책에 수학 공식이나 방정식을 최소화하여 비수학적 서술을 통해 독자를 이해시키려고 한 것 같습니다. 물론 수학책에 수학 공식이나 방정식이 없는 것이 꼭 좋은 서술 방식인가에 대해서는 여러 이야기들이 있을 수는 있습니다. 하지만 수학에 익숙하지 않은 사람들을 대상으로 하는 대중과학책으로서는 이러한 방식을 채택할 수 밖에 없는 사정도 있을 것입니다. 더구나 저자인 키트 예이츠는 수학적 개념의 비수학적 서술에 대한 우려를 날려버릴 정도의 훌륭한 탁월한 스토리 텔링으로 재미있게 풀어내 주고 있습니다.  

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