크레마클럽

"수학은 형태의 경이로움과 아름다움에 관한

학문이기도 하다." p.168

수학시험만 생각하면 머리가 아파올 때가 있었다. 지금 돌이켜 생각해보면 그 때 수학을 좋아하긴 했지만 수학의 참맛을 발견하지 못했다. 시간이 많이 흘러 어른이 된 후로 수학은 숫자와 계산으로 이루어진 머리아픈 학문이 아니라 아주 재미있는 여러가지와 연관되어 있다는 것을 깨닫게 됐다. 이 책은 이런 나의 깨달음과 부합하는 재미있는 수학 이야기들로 가득차 있다.

우주로 날아간 맨홀뚜껑, 플라톤 입체, 골프공의 딤플에 숨어있는 기하학, 루빅스 큐브의 조합과 알고리즘, 빗속에서 뛰면 10%정도 비를 피할 수 있다는 것, 생각하는 생명체와 기계의 구분에 앨런 튜링의 방법이 사용된다는것, 저글링 조합을 표시하는 사이트스왑이라는 표기방식, 내시의 게임이론, 구글번역이 문법에 의존하지 않고 확률에 의존한다는 사실, 알갱이 대류의 원리가 눈사태에서 사라을 구할 수도 있다는 것....

이 책은 모두 100가지의 아주 특별한 수학 이야기들이 1부 형태, 2부 행동, 3부 패턴, 4부 특별한 숫자로 이루어져 있다. 개인적으로 수학에 대한 지식이 꼭 필요할 때가 가끔 있다. 그렇다고 전문 수학자가 될 생각은 전혀 없다. 다만 일상생활에서 예기치 못한 난관에 부디칠때 수학적 근거가 절실해지는 때가 있는데 관련 분야가 워낙 방대하다 보니 관련서적을 찾기가 모래사장에서 바늘찾기였다.

예를 들어본다면, 올해 봄에 지하수에서 나오는 물을 T자 배관을 이용해 부속건물에 연결한 후 전혀 예상치 못했던 문제가 발생했다. 새로 연결한 건물은 물이 펑펑 잘 쏟아지는데, 원래 건물은 수압이 절반 이하로 약해진 것이다. 나는 이 문제가 T자 배관에서 생기는 소용돌이 난기류로 인한 지체현상은 아닐까 의심하게 됐다. 그래서 관련 지식을 찾기위해 여러사이트를 뒤졌지만 아무것도 건지지 못했다. 지금도 그 일은 여전히 내 머리속을 어지럽히는 난기류로 남아있다.

또 개인적으로 체스를 좋아하는데 문제는 이상하게 실력이 늘지를 않는 것이다. 알고보면 체스게임이나 바둑에는 수많은 알고리즘으로 이루어진 경우의 수가 있고 그 알고리즘을 얼마나 잘 이해하는지가 매우 중요할 때가 있다. 결국 수학은 우리의 일상 생활과 여가 시간에서조차 멀리할 수 없는 인간 삶의 후원자와 같은 존재라는 생각이 들었다.

이 책에서 특히 특히 내 관심을 잡아끄는 항목을 꼽으라면 21. 골프공에 홈이 있는 이유와 46. 내시 균형 49. 확률과 재판 62. 우주의 원자 개수보다 많은 바둑의 경우의 수 등등이다.

46. 내시 균형에서는 내가 예전에 아주 흥미롭게 시청했던 러셀 크로우주연의 영화＜뷰티풀 마인드＞에 대한 내용을 다루고 있다.

프린스턴 대학교의 학생이었던 존 내시가 우연한 기회에 게임이론을 생각해 낸다. 그러나 내시는 심각한 정신질환때문에 힘든 삶을 살아야 했다. 오랜 시간이 흐른 후에 기업을 비롯한 여러분야에서 내시의 게임이론이 활용되고 내시가 노벨상을 받으며 교수들로부터 동료로 인정받는 장면에서 가슴이 뭉클했던 기억이 떠 올랐다. 수학이 단순한 숫자와의 싸움이 아니라 실생활에서 사람들의 심리와 선택에 폭넓게 관련되어 있다는걸 확실히 깨닫게 해준 영화였다.

49.번 확률과 재판에서 내가 흥미롭게 읽은 내용은 확률을 계산할 때 증거의 표집 편향때문에 엉뚱한 계산 결과가 나올 수도 있다는 점이다.

본문에는 1988년 셀리 클락이라는 영국 여성이 두 번 연속으로 아이를 낳은후 두 아이 다 유아 돌연사로 몇 주만에 숨지면서 유아 살해범으로 몰린 재판을 예로 들고 있다. 한 번도 아니고 두 번씩이나 유아 돌연사가 일어날 확률이 얼마나 될까. 이런식의 생각(계산)을 우리도 일상생활에서 종종 하게 된다. 그런데 그 확률을 계산할 때 표집 그룹을 어디까지로 정하느냐에 따라 결과가 판이하게 나올 수 있다는 것이 이 사건이 우리에게 주는 교훈이다. 재판에서 전문가 증인이렀던 소와과의사는 한 가정에서 두 건의 영아돌연사 증후군이 일어날 확률은 7300만분의 1이라고 주장했다. 그러나 나중에 영국 샐퍼드 대학교의 한 수학 교수가 영아돌연사 증후군이 두 번 거듭해 일어날 확률이 두 번의 살인 사건 발생 확률보다 4.5배 더 높다는 것을 입증했다. 재판에서 셀리 클락은 처음에 유죄 판결을 받았지만 2003년 무혐의로 풀려났다. 이렇게 수학은 우리의 삶에 아주 중요한 결과를 가져올 수 있다.

사실 이 책은 나에게 큰 즐거움을 선사해 주었다. 지적 호기심을 충족하는 것 이상의 놀라운 통찰력과 수학에 대한 열정이 다시 불붙게 해 주었다. 그러나 개인적으로 이 책을 위한 한 가지 작은 제안을 할 수 있다면 컬러풀한 일러스트와 사진이 더 많이 곁들여 달라는 말을 하고 싶다. 왜냐하면 너무나 훌륭한 이 책의 내용을 빛내줄 멋진 사진 한 두장이 약간 딱딱하게 느껴질 수도 있는 수학 이야기를 환상적인 모험으로 만들 수도 있을 것 같기 때문이다.

＜세상을 움직이는 수학개념 100＞의 저자 라파엘 로젠은 수학이 우리가 살아가는 세상에서 살아 숨 쉬는 생생한 속성임을 보여주는 데서 한발 더 나가 예쁘기도 하다는 것을 보여주고 싶다고 말한다. 수학 배우기는 노을 바라보기, 시 읽기, 좋아하는 밴드의 음악 듣기와 비슷하다는 뜻이다. 수학에는 발걸음을 멈추게 하는 아름다움이 깃들어 있다. 수학을 공부하는 이유는 자기 삶을 풍요롭게 만들기 위해서여야 한다. 자기 주변 세상에 숨어 있는 수학의 매력적인 개념을 배우고 나면 수학의 가치를 제대로 이해할 수 있다.

"우리는 피자에서 도넛까지, 온라인 쇼핑에서 스마트폰 GPS까지, 우리의 일상세계에 스며든 수학을 찾으러 탐험을 떠날 것이다. 버스 정류장에서 버스를 기다릴 때 마치 영원처럼 긴 시간 동안 오지 않다가 갑자기 동시에 버스 두세 대가 함께 나타나는 이유를 살펴볼 것이다. 동네 슈퍼마켓에 있는 이상하게 생긴 채소를 살펴볼 것이고, 음악을 어떻게 번역해 스마트폰에 집어넣는지도 배울 것이다. 그리고 도로를 더 건설하는 것이 오히려 교통난을 가중시키는 이유 같은 이상한 역설에 대해서도 살펴보겠다."

이 책에서 주인공이 사각형인 소설책 ＜플랫랜드＞의 이야기가 인상적이다. 영국의 교사 겸 성직자 에드윈 애벗이 1884년에 발표한 소설 ＜플랫랜드＞의 전제는 의식이 있는 사격형과 육각형, 직선, 원 등의 도형이 3차원 세계의 우리처럼 생각하고 상호작용하며 사는 2차원 세계를 상상해보는 것이다. 소설의 주인공은 사각형이다. 이 사각형이 독자들에게 플랫랜드(평면의 나라)의 규칙과 관습을 이야기해주는 역할을 한다. 규칙 중에는 집의 형태에 관한 것도 있다. 플랫랜드 거주민이 부지불식간에 부딪혀도 다치지 않도록 집은 각도가 날카롭지 않은 오각형으로 만든다. 군인과 하층 노동자는 전투에 유리하도록 각이 날카로운 이등변 삼각형이다. 중간계층 남성은 사각형과 오각형, 귀족은 육각형이다. 변의 수가 증가할수록 계층도 높아진다. 최고위층은 원이 차지하고 있으며, 사제 계층의 특권을 누린다.

"＜플랫랜드＞는 놀랍게도 차원의 개념을 아주 잘 설명하고 있다. 주인공 사각형은 라인랜드(신의 나라)와 포인트랜드(점의 나라)로 여행을 떠나고, 스페이스랜드(공간의 나라)의 주민과도 상호작용하며 3차원 세계를 이해하려 애쓴다. 2차원 세계에 사는 존재들에게는 3차원을 설명하기가 얼마나 어려운지 상상이 갈 것이다.(...) 3차원은 그들이 사는 2차원 세계에서 '위아래로', 또는 '수직으로' 더 뻗어나와 있는 세계라고 설명할 수 있겠다. 하지만 이런 설명이 그들에게 어떤 의미로 다가갈까? 2차원 존재가 납작한 평면 위에 존재하지 않는 방향을 어떻게 상상할까? 자신이 존재하는 평면으로부터 멀어진다는 개념을 어떻게 이해할까? 독자들이 차원의 본질을 이해할 수 있게 돕는다는 면에서만큼은 그 후로도 이 책을 뛰어넘는 작품이 나오지 않았다."

저자는 버스가 몰려다니는 이유를 카오스 이론의 본보기라고 설명하여 흥미롭다. 어떤 승객의탑승시간이 오래 걸려서, 대기 승객이 많아서 버스가 정류장에서 기다리는 시간이 길어지면 다음 정류장에는 그만큼 더 많은 승객이 기다리게 된다. 버스가 마침내 그다음 정류장에 도착하면 이렇게 쌓인 더 많은 승객을 태워야 해서 탑승시간이 또 길어진다. 그럼 그다음 정류장에는 더 많은 승객이 기다린다. 이런 지체 과정이 꼬리에 꼬리를 물어 지체 시간이 눈덩이처럼 불어난다. 반면 지체된 버스 뒤에 오는 버스는 막상 정류장에 도착하면 대기중인 승객이 별로 없다. 대부분 앞서간 버스를 탔기 때문이다. 대기 승객이 별로 없으니 승객 탑승시간도 짧다. 그래스 비교적 빠른 시간에 출발해 다음 정류장에 일찍 도착한다. 이렇게 시간을 줄이다보면 지체된 버스가 점점 더 지체되는 것과 마찬가지로 빨리 가는 버스는 점점 더 빨라진다. 그러다 보면 결국 뒷버스가 앞버스를 따라잡아 두 버스가 몰려다니게 되는 것이다. 앞버스가 배차 간격을 맞추기 위해 정류장을 그냥 지나치지 않는 한 말이다.

"버스가 몰려다니는 현상은 카오스 이론의 한 본보기다. 카오스 이론은 초기 조건의 작은 차이가 결국 극적인 차이로 이어지는 현상을 설명하는 수학 분야다. 이 경우에는 사람들이 버스에서 승하차하는 시간에서 생기는 작은 차이가 그 노선에서 운행하는 다른 버스들과의 상대적 위치에 극적인 영향을 미치는 것으로 볼 수 있다."

기상전문가가 텔레비전에 나와 내일 비 올 확률이 40%라고 할 때 그 말의 진짜 의미는 무엇일까? 날씨를 예보할 때는 수학의 기본 가지인 확률을 사용한다. 일기예보 중 강수량을 예보할 때는 강수 확률을 사용한다. 일기예보 중 강수량을 예보할 때는 강수 확률로 나타낸다. 그런데 사람들은 40%의 의미를 이해 못 할 때가 있다. 이것은 비가 전체 시간 중 40% 동안 내린다거나, 일기예보 해당 지역의 40%에 비가 내린다는 의미가 아니다. 이 말은 내일 조건과 대략 비슷한 조건을 갖는 열흘 중 나흘 정도 강수가 있을 것이라는 의미다. 뒤집어 말하면 그런 날 중 엿새는 강수가 없다는 뜻이다.

저자는 수학을 기반으로 하는 게임은 많지만 바둑처럼 우아한 게임은 없다고 말한다. 바둑을 체스와 비교해도 엄청난 숫자가 등장한다. 컴퓨터 프로그램이 체스를 둘 때는 일곱 수까지 분석해 내다볼 수 있다. 하지만 이런 기술을 바둑에 적용하려들면 곧 과부하가 걸리고 만다. 체스 경기를 할 때는 컴퓨터는 매 수마다 600억 가지 경우의 수를 검토할 수 있다. 그런데 바둑에서 일곱 수를 내다보려면 컴퓨터는 1조의 만 배나 되는 경우의 수를 검토해야 한다.

최근 반 고흐 작품 ＜별이 빛나는 밤＞은 아름다움뿐만 아니라 바탕에 까려 있는수학으로 더 유명해졌다. 반 고흐의 두 작품 ＜까마귀가 나는 밀밭＞과 ＜사이프러스와 별이 있는 길＞ 뿐만 아니라 ＜별이 빛나는 밤＞의 소용돌이 패턴 역시 난류와 기이하 정도로 닮은 것으로 드러났다. 난류는 강물에서 일어나는 소용돌이나 불에서 올라오는 연기 등에서 보이는 운동을 말한다. 파이프를 통해 흐르는 유체의 운동에서도 나타난다. 비행기를 타고 가다가 가끔 기체가 덜컹거리는 느낌이 들 때가 있는데, 이는 대기 중에서 더운 공기와 찬 공기가 섞이며 발생하는 난류 때문이다. 난류는 흔히 일어나는 현상이지만, 수학으로 기술하기는 어렵기로 유명하다. 그렇게 하려면 수학자들은 나비어-스톡스 방정식의 해를 이해해야 한다. 과학자들은 ＜별이 빛나는 밤＞에 나타나는 패턴이 난류의 특징과 맞아떨어지는지 판단하려고 반 고흐의 붓놀림으로 칠해진 물감의 휘도, 즉 밝기를 검사했다. 이들은 그림을 디지털화해 그림 안에 들어있는 픽셀의 휘도를 비교했다. 그 결과 휘도의 패턴이 1940년대에 통계를 이용해 난류를 이해하려 애썼던 러시아 수학자 안드레이 콜모고로프가 공식화한 방정식과 맞아떨어진다는 사실을 발견했다.

이 책에는 신용카드는 어떻게 보안을 유지할까?라는 질문으로 소수에 관한 수학개념을 이야기한다. 인터넷 보안과 일반적인 공개키 암호방식은 1과 자기 자신만으로 나눌 수 있는 특별한 수인 소수에 바탕을 두고 있다. 소수는 예를 들면 1,3,5,7,11.. 등이 있는데, 소수의 수는 무한하고 숫자가 엄청나게 길어질 수도 있다. 소수 개수가 무한할 수밖에 없음을 보여주는 수학적 증명도 잇지만, 그것은 다른 얘기다. 온라인에서 신용카드 번호를 입력할 때 RSA 알고리즘을 이용한다. 발명자의 이름을 딴 이 알고리즘은 1977년 만들어졌으며, 엄청나게 긴 소수를 이용하는 암호화 시스템이다. 이 시스템은 신용카드 번호를 또 다른 거대한 숫자, 무작위로 고른 두 개의 거대한 소수를 곱해 나온 숫자로 변환해 보안을 유지한다. 두 소수를 알면 이 새로운 숫자를 원래의 신용카드 번호로 변환할 수 있지만, 또 다른 수학적 사실 덕분에 자료는 안전하게 보안된다. 바로 거대한 수를 소수 두 개로인수분해하기가 어마어마하게 어렵다는 것이다. 숫자의 크기가 충분히 클 때 정확한 두 인수를 찾으려면 슈퍼컴퓨터를 네트워크로 동원해도 수십 만 년이 걸릴 정도다. 하지만 지난 몇 년 동안 RSA 시스템이 철통 보안은 아니라는 소물이 돌았다. 이 시스템의 완전성은 무작위 소수를 발생하는 데 달려 있는데, 이 일을 담당하는 프로그램인 난수 발생기가 항상 완벽하게 무작위적인 숫자를 만들어내는 것으로 보이지 않는다는 것이다. 이런 물일치성 때문에 사기꾼들이 두 소수의 정체를 알아 민감한 정보를 빼어갈 가능성이 열린다. 저자는 온라인 뱅킹이나 온라인 통신 뿐만 아니라 전자상거래도 지금까지는 안전한 듯 보이지만, 수학자들이 좀 더 보안이 철저한 새로운 시스템을 고안하기를 바란다고 이야기한다.

＜세상을 움직이는 수학개념 100＞는 수학이 단순히 어려운 학문이 아니라, 우리 생활에서 쉽고 흥미롭게 발견하여 이해할 수 있다는 것을 일깨워주는 책으로 추천한다.

 학창시절에 수학에 대해서 호기심이 많은 학생들도 있겠지만 많은 학생들은 어려움을 느끼고 입시를 위해서 열심히 공부하지만 사회생활을 하면서 직접적으로 수학을 사용하는 일을 하지 않는다고 하면 그 중요성을 인식하지 못하는 경우가 많이 있을것이다. 미분 적분, 수열이라는 개념을 계산하지는 않지만 우리가 지금 다니고 있는 사회의 곳곳과 일상생활의 현상에서도 수학은 깊숙이 그 내면을 지키고 있는 모습을 보여준다. 최근에 다양한 AI(인공지능)의 경우에도 기본적인 이론은 수학에서부터 출발을 하는 것을 보면 복잡한 개념의 이면에는 수학과 함께 살펴본다고 하면 그 의미를 좀 더 심도있게 파악할수 있는 장점을 발견할수 있을 것 같다.

 책에서는 수학개념 100가지는 통해서 우리 사회에서 조금 더 효율적으로 살아갈수 있는 좋은 팁과 같은 방법에 대해서도 생각을 해볼수가 있는데 수학이라는 자체가 매우 합리적인 이론을 베이스로 하고 있기 때문에 책을 읽다보면 일반적으로 대충 넘어갈 일에 대해서도 좀 더 생각을 해보면서 자신에게 좋은 케이스로 생각할수 있는 기회를 준다. 폭우가 내리는 날 비를 맞는 것을 최소화 하기 위해서는 어떻게 하면 좋을지에 대한 생각도 총 부피에 대한 개념을 통해서 최대한 빨리 빗속에서 있는 시간을 피하는 것이 효율적임을 알수가 있다. 추상적이고 경험적으로 생각하고 있는 것들이 정답일수도 있지만 수학을 통해서 바라보는 세상은 극단적인 가정이 아닌 상식선에서 우리가 어떻게 세상을 바라보면 좋을지에 대한 생각을 들게 한다. 아침마다 출근을 할때 착용하는 넥타이의 경우에도 묶는 방법이 17만 7147가지나 된다고 하는데 감는 횟수의 차이를 주면서 미세한 변화를 아주 크게 일으킬수가 있는데 음악과 영화 같은 미디어 매체에서도

나의 학창 시절에 ‘수포자’라는 단어가 있었다면 아마도, 나는 그 단어 속에 포함된 사람이었을지 모르겠다. 왜 수학은 그렇게 어렵다고만 생각이 들었을까. 한때 수학은 왜 공부를 하는 거냐며 투덜대며 놀았던 시절을 반성하게 했던 것은 모 종편 방송에서 나왔던 ‘학교 다녀오겠습니다’ 였다. 배우 김정훈이 나와서 수학의 즐거움과 필요성을 얘기해주는데, 왜 나는 저런 즐거움을 찾지 못하고 괴롭다고만 생각했을까 고민까지는 아니지만 약간의 후회를 낳은 부분이 없지 않아 있다. 우리가 계산하는 연산과 사고력의 그 수학의 테두리 안에는 계산만 있는 것이 아니고, 우리 주변에 흔하게 널려 있다는 것을 누가 좀 알려줬다면 내가 그토록 싫어하는 과목이 수학은 아니었을 것이다. 뭐, 장담은 할 수 있는 것은 아니겠지만.

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“세상에는 우리가 일상적으로 접하는 특성들이 수많이 존재한다. 너무 흔히 접해서 이유를 따져보지 않은 경우도 허다하다. 그런데 가끔 수학 덕분에 이런 일상의 사물들을 다른 방식으로 바라보며 새로운 이해와 통찰을 얻을 수 있다. ” P53

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길을 가다 흔히 보는 맨홀 뚜껑이 네모나 세모가 아닌, 원형의 모양을 한 것도 자기 자신을 통과 할 수 없는 것이 가장 완벽한 것이 원의 형태이고, 그것도 수학적인 의미를 찾아 만들어 졌고, 운전을 하다 지나치는 표지판 또한 수학적인 의미를 가지고 만들어 졌다. 사각형과 팔각형 표지한은 여러 방향에서 보아도 쉽게 알 수 있게 만들어 진 것이고, 어느 각도에서도 다 볼 수 있게 만들어진 둥근 표지판은 위험한 지역에 쓰인다. 그러니 표지판 하나에도 각도와 거리에 맞게 만들어 졌다고 하니, 이런 수학적인 재미가 또 어디 있겠는가.

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세상을 움직이는 수학 개념 100가지를 예를 들며 얘기 했지만, 사실 그 100가지 안에 너무 끼워 맞춰 넣은 것은 아닌가 하는 것도 있지만, 어찌 되었건 버스가 몰려다니는 카오스 이론부터 복사 용지로 쓰고 있는 종이의 크기며, 빗방울과 눈물방울의 기하학까지 생각지도 못한 부분들의 얘를 참 많이 들어 놔서 간혹 수학이 싫어, 수학을 왜 하냐고 묻는 아이가 있다면 이런 얘기를 해 주며 즐겁게 학습 할 수 있는 여러 이유를 들어 줄 수 있을 것은 같다.

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고흐의 그림 기법을 난류와 연관 짓거나 레오나르도 다빈치의 ‘최후의 만찬’의 황금비를 찾으며 작품이 아름다울 수밖에 없는 것 또한 수학적으로 얘기 할 수 있다는 것을 안다면 멀리 했던 수학을 다시 들춰 보고 싶게 만든다.

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“미국 국방부 펜타곤은 왜 오각형 모양일까? 버스는 왜 몰려다니는 걸까? 왈츠가 3/4 박자인 이유는 뭘까? 소수와 매미는 어떤 관련이 있을까?”

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도처에 널려 있는 재미있는 사실들을 발견하는 즐거움을 더 알아가기 위해 이제라도 수학을 공부해야 하는 걸까, 잠시 고민했지만 이렇게 누군가 찾아낸 사실을 읽는 즐거움으로 만족하고 싶다.

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