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피타고라스 생각 수업 : 우리 생활을 지배한 수학에 경배하라

유전자의 힘.

무섭다.

딸아이가 다른 과목은 곧잘 하는데 수학은 부족하다.

학원도 보내고 본인 의지가 내 학창시절보다는 강렬하여 조금 아는 수준이지만, 본인은 물론 부모 역시 만족스러운 성적표를 가져오지는 못한다.

하긴 되돌아보면 수학이 밥 먹여준 일은 없다.

문과대를 졸업하여 금융회사 유통회사 직장생활 했지만 엑셀 하나 정도면 오피스 수학 활용은 별다를 게 없다.

그렇게 희희낙락 살아 왔지만.

어느 순간 깨닫는다.

핵심은 수학의 정석 문제 풀며 정답을 적어내는게 아니라, 추론하고 문제를 풀어가며 논리적인 사고를 장착하는 데 있다.

사업을 분석하고 마케팅 플랜을 준비할 때, 감에 의존하지 않고 명확한 숫자로 분석하고 결과를 도출하면 성공 가능성은 높아진다.

제 아무리 경험과 영업의 촉이 뛰어나더라도 논리 추론의 과정을 통해 나온 결과는 이기지 못한다.

해보니 그렇더라.

6장의 영역으로 나누어 수학의 파급이 우리 삶을 어떻게 지배하는지 어렵지 않은 강의를 통해 독자를 이끈다.

중간 등장하는 복잡한 수식이나 수학기호들은 천천히 음미하는 편이 이해하는데 도움이 되지만 딱히 모르더라도 전체적인 책의 맥락을 이해하는데 어렵지는 않다.

실생활에 마주치는 문제를 통해 수학이라는 학문의 필요성을 어필하는데 자연스럽게 어렵기만 하던 학문에 대한 도전 열의가 끓어오를 수 있다.

수학자는 문제를 푸는 사람이 아니라 문제를 만드는 사람이라는 강조는 실생활과 연결될 때 효과가 배가된다.

처음 챕터에 등장하는 “피보나치 수열”은 수많은 경우의 수를 하나씩 계산하지 않고도 최적의 경로를 찾아내는 마법을 보여준다.

티맵을 통해 목적지를 찾아가는 과정 역시 수학의 공식을 활용한 반증으로 이해할 수 있다.

특히 여러 경로를 최적의 조합으로 만들었을 때 시간과 비용 단축이 바로 내게 혜택으로 돌아오니 수학의 힘을 거부할 수 없다.

이처럼 우리의 일상을 “수학으로 해결하려는 생각”이 바로 수학적 사고임을 저자는 강하게 이야기한다. 수학은 현실문제를 수학 문제로 변환하고, 변환된 수학문제를 해결하는 방법을 찾게 되었을 때 우리에게 주어진 현실 문제를 해결하는 방법을 깨닫게 되는 이치다.

책 제목에 피타고라스가 주장하는 이유이기도 하다.

피타고라스는 “만물의 근원은 수”라고 주장하지 않았던가.

‘수는 영원 불멸한 형태를 이해하고 영혼을 이끄는 힘을 가졌다”라고도 믿었던 그였다.

우리나라에서 하루에 팔리는 치킨은 몇 마리인지 궁금한가?

그 딴 거 알아서 뭐할까 묻기보다는 만약 내가 지금 불가피하게 창업을 하게 되었는데 수많은 치킨 집들의 경쟁 상태를 파악해 봐야한다면 필요한 질문일 수 있다.

프랜차이즈 협회나 언론의 자료를 검색해본다면 금방 알아낼 수 있지만, 만약 당신이 구글 면접을 보게 되었는데 이런 질문을 받았다면 뭐라고 답을 내겠는가?

수학은 결과의 학문이 아니라 과정의 학문이라는 점을 떠오른다면 곤란한 질문의 현명한 대답은 합리적 추론을 통해 설득력 있는 과정의 답변을 내놔야 한다.

수학적으로 해결책을 풀어가는 과정으로 등장하는 페르미 추정은 사실 이름 한번 들어보았을 방식이다. 맨해튼 프로젝트에도 참여했던 그는 종이 몇 장을 날려 원자폭탄의 위력을 즉석에서 계산했는데, 풀이 과정을 보면 질문에 답변을 찾아가는 논리의 완성도와 풀이 방법의 범용성에 놀라게 된다.

머리 속에 로직 트리 하나를 심어 놓는다면 어떤 상황에서는 제한된 정보로도 합리적이고 정답에 근사치를 도출해낼 능력이 생기는 초능력을 발휘할 수 있다.

책에는 어려운 공식을 살짝 걷어 내기만 해도 수학이 일상생활을 혁명 가득한 변화로 채워 놓았다는 역사의 사실을 음미할 수 있다.

문제풀이 과정에 등장하는 수식과 공식을 공부해보고 싶은 마음도 살짝 생기며 상기된 얼굴을 하게 될 지도 모른다.

다음주에 중간고사가 있지 않으니 성인인 우리는 수학의 이로움을 마음껏 학문의 탐구로 채워나갈 수 있지 않을까?

수학을 포기했던 사람들에게 필요성을 자극하는 저자의 교묘한 설득에 우리는 무장해제 당한다.

범죄현장에 사용하던 지문으로 범인을 찾는 과정조차 수학의 도움 없이는 불가능하다는데 놀랄 거다.

*출판사에서 도서를 제공받아 작성한 서평입니다.

수학은 학창 시절 나를 가장 많이 괴롭힌 과목이었다.

그래서인지 고등학교가 끝나자마자 수학에 대한 관심이 아예 사라져 버렸다.

하지만 과학이 자연을 기술하는 언어라는 생각을 갖게 된 요즘, 그 과학 이론들이 모두 수학으로 기술되어 있다는 사실을 깨닫고 나니 수학 역시 이해하고 싶다는 생각이 부쩍 늘어났다.

그러던 와중에 쉬워 보이는(?) 수학 관련 교양서가 나와서 읽어보게 되었다.

나도 그렇지만 '수학'이라고 하면 일단 긴장부터 하고 보는데, 결론부터 말하자면 평생을 수포자로 살아온 나에게도 그리 어렵지 않은 책이었다.

물론 초등학교 고학년 수준에서 나오는 최소공약수나 최소공배수 정도의 개념은 알 것이라 생각하고 서술되는 부분이 없진 않지만 다행한 건 그 단어의 뜻이 무엇인지만 알고 있으면 내용을 따라가는데 문제가 없다. (즉, 어떤 수의 최소공약수나 최소공배수를 직접 구할 수 있느냐 없느냐는 이 책을 읽을 때 그다지 중요하지 않다는 의미다.)

저자는 일반 대중들이 수학하면 가장 대표적으로 가지고 있을 의문인 '대체 수학을 왜 공부해야 하는가'에서 시작하고 있다.

여러 이유들이 있지만 요약하면 '수학적 사고방식'을 익히는 것이 중요하다는 말이다.

사실 우리가 살면서 그래프나 입체도형의 면적과 부피를 구해야 할 일은 거의 없겠으나 자신의 생각이나 요점을 논리적으로 전개해야 할 일은 굉장히 많다.

그리고 바로 그런 일에 수학적 사고방식이 굉장히 유용하다는 것이다.

특히 몇 년 전부터 구글의 입사 시험에 등장해 유명해진 '페르미 추정' 같은 사고 연습은 막연한 문제를 해결하는 기초적 논리 전개 방식으로 실제 사회생활에서 유용하게 활용될 수 있다.

논리력을 키우려면 수학에서는 하나를 알아가는 과정으로

나머지를 연결해 알아가는 '생각의 끈'이 필요합니다.

바로 이런 연결된 끈을 찾을 수 있는 지헤를 가질 수 있도록 하는 것이

수학을 공부하는 여러 이유 중 하나입니다.

(pg 96)

또한 수학은 세상을 보다 단순하게 만들어 쉽게 이해할 수 있는 대상으로 변형시킨다.

복잡한 세상을 '카테고리화', '단순화'해서 이해하는 인간의 특성이 수학을 통해 비약적으로 강화될 수 있는 것이다.

아래와 같은 예시들은 지금 인간의 눈으로는 '진짜 그랬을까?' 싶지만 실제 수천 년 전 인류에게는 당연한 사고방식이었을 것이다.

"인류가 '닭 두 마리'의 2와 '이틀'의 2가 같다는 것을 이해하기까지는

수천 년의 시간이 필요했다."

(pg 168)

물론 저자는 이런 실제적인 유용함이 전혀 없다 할지라도 자연을 기술하는 방식으로 수학이 가장 원초적이면서도 글로벌하게 통용될 수 있는 언어라는 점에서 그 중요성을 강조한다.

학문이 발전함에 있어서 특히나 수학은 숫자와 수식으로 증명되면 더 이상의 논란의 여지라는 것이 생겨날 수 없기 때문에 그 자체로서 우주의 진리를 보여준다고 해도 과언이 아니기 때문이다.

그럼에도 불구하고 나와 같은 일반적인 독자 입장에서는 '수학'이라는 분야는 이미 거의 완성되어 있어서 더 이상 새로운 것이 생겨나지는 않을 것 같다는 오해를 하기도 하는데, 저자에 따르면 매년 30만 건에 달하는 수많은 새로운 '발견'이 이루어지고 있고 이런 발견들이 미래에 어떤 영향을 줄지 예측하는 것도 힘들 정도라 한다.

저자는 17세기까지도 '0'의 개념이 일반적으로 받아들여지지 않았던 것을 예로 들며, 수학적인 발견이 세상을 얼마나 바꿀 수 있는지를 알기 쉽게 설명해 주고 있다.

분명한 사실은 아인슈타인의 상대성이론은 처음 발표했을 때

아무도 이해할 수 없었지만 지금은 상식이 되었듯,

현재 매우 어려워서 이해할 수 없는 높은 수준의 수학도

미래에는 상식이 되리라 생각합니다.

인류의 발전을 읽고 나아가려면 수학적 사고가 역시 필요해 보입니다.

(pg 176)

이 책을 읽고 싶어 할 사람들 중에는 어떻게 하면 본인이나 자식이 수학을 잘할 수 있을까가 궁금해서 읽는 사람도 분명 있을 것 같다.

저자가 여러 방법을 알려주고 있지만 가장 인상적이었던 방법은 아래의 방법이었다.

결국 수학 역시 문제가 무엇을 의미하고 무슨 답을 원하는지를 파악하는 것이 중요한데, 이는 '이해력', 즉 텍스트나 수식으로 된 문장을 읽고 그 의미를 이해하는 것에서 출발한다는 것이다.

사람들은 어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을지 궁금해합니다.

한 가지 방법 중에 "책을 읽으세요"라는 답을 줄 수 있겠네요.

수학을 잘할 수 있는 비결은 '이해력'을 기르는 것인데,

독서야말로 이해력을 기르는 가장 좋은 방법이기 때문이지요.

특히 스스로 수학에 관련된 책을 읽고 수학적 원리를 이해한다면

수학 공부는 자연스럽고 흥미로워질 것입니다.

(pg 265)

여하간 흥미로운 예시들도 많고 서술도 굉장히 친절한 편이어서 수학과 그다지 친하지 않은 나도 그다지 힘들지 않게 읽은 책이었다.

재미도 있었고 알게 된 사실들도 많았던 것 같다. (물론 그렇다고 다시 수학 공부를 하고 싶어질 정도는 아니지만)

사실 수학이 중요하다는 사실은 누구나 알 것이라 생각한다.

다만 나 자신이 수학과 얼마나 친할 수 있느냐는 다른 문제인데, 무작정 수학을 싫어하는 학생이라면 읽은 후 제법 생각이 달라질 수 있을 것 같은 책이었다.

수학자의 생각은 이 세상에 존재하지도 않았고, 눈에 보이지도 않으며,

이용할 수도 없던 어떤 대상을 눈에 보이게끔 만듭니다.

그로 인하여 엄청난 문명의 발전을 이끌고 있습니다.

(pg 185)

나는 전기대학입시에서 수학때문에 낙방한 다음, 후기대학입시를 통해 대학교에 입학을 했던 경험이 있다. 전기대학입시에서 떨어진 다음 수학하고는 거의 담을 쌓고 지낸 셈인데 취업을 하고 나서 우연찮게 경영관리 업무를 담당하게 되면서 숫자와 떼려야 뗄 수 없는 삶을 오랫동안 살아왔다. 현재는 경영관리 업무를 담당하고 있지 않아서 숫자와 조금 거리가 생겼지만 최근에 수학적 사고의 유용성을 발견하게 되어 논리적 사고를 하기 위해서는 수학의 도움이 필요하다는 생각을 갖게 되었다. 그래서 이 책 ＜피타고라스 생각수업＞을 읽게 되었다.

이 책은 모두 6개의 장으로 이루어져 있고, 각 장의 주제는 다음과 같다.

1장_문제에 대한 생각, 보이지 않는 것을 발견하기
2장_논리에 대한 생각, 일상을 분석하기
3장_창의에 대한 생각, 상상하고 질문하기
4장_발명에 대한 생각, 발상을 전환하기
5장_공부에 대한 생각, 기초에서 확장하기
6장_활용에 대한 생각, 수학자처럼 생각하기

"지금 모른다고 인정하고 다시 공부한다고 해서 절대 창피한 일이 아닙니다. 진짜 창피한 일은 모르면서도 안다고 여기는 마음입니다. 수학은 이런 마음이 있으면 절대 잘할 수 없는 과목이지요. 무엇보다 수학은 반드시 처음부터 차곡차곡 쌓아야 하는 과목임을 명심하기 바랍니다. 이렇게 수학적 사고의 기초를 쌓는 작업을 잘하면 수학자처럼 생각하는 법도 훨씬 수월할 것입니다." 이제 나는 명예퇴직까지 4년이 채 남지 않았다. 하지만 나는 퇴직 후에도 직업을 가지고 계속 일을 해나갈 생각이기 때문에 요즘도 꾸준히 공부를 하고 있다. 저자의 말처럼 진짜 창피한 일은 모르면서도 안다고 여기는 마음이라고 나는 생각한다.

"피타고라스는 일정한 비율로 추를 매달아 줄을 튕기면 조화로운 소리가 난다는 것에 착안하여 악기를 만들었습니다. 그 악기는 현을 죄는 주감이를 더하여 추를 매달았을 때와 같은 효과로 현을 팽팽하게 할 수 있었지요. 피타고라스는 이 악기의 이름을 '현을 퍼지게 하는 악기'라는 의미로 '코드도토논'이라고 불렀으며 '신성한 일현금'이라고도 했습니다. 수학의 언어가 음악으로 바뀌는 엄청난 사건이었지요." 나는 이 책을 읽기 전까지 피타고라스가 악기를 만들었다는 소리를 들어보지 못했다. 피타고라스가 수학을 이용해서 악기까지 만들어냈다는 이야기에 나는 감탄을 금할 수 없었다.

"처음 '없음'이 발견된 곳은 1800년 전 인도라고 알려져 있습니다. 물론 그 이전에도 여러 지역에서 다른 수를 정확한 위치에 표시하기 위해 일종의 구분자 역할을 하는 기호가 필요함을 알고 있었지만 '0'이 구분자 역할 외에도 더 많은 의미를 가지는 사실을 인도인이 가장 먼저 알아냈고, 0이 실제 수라는 사실을 밝혔습니다. (중략) 지금 생각하면 당연한 0이야말로 매우 단순하지만 문명을 일으키고 발전시킨 인류의 위대한 발명입니다. 그리고 그것을 수학자가 오직 생각만으로 이뤄냈지요. 수학자의 생각은 이 세상에 존재하지도 않았고, 눈에 보이지 않으며, 이용할 수도 없던 어떤 대상을 눈에 보이게끔 만듭니다. 그로 인하여 엄청난 문명의 발전을 이끌고 있습니다." 우리는 현재 0이라는 숫자를 활용해서 다양한 수학적 계산을 편리하게 하고 있지만, 0이라는 숫자를 발견해 낸 사람은 천재가 아니었을까 하는 생각이 든다. 만약 0을 발견하지 못했다면 우리는 어떻게 그렇게 많은 숫자들을 불편함 없이 계산해낼 수 있을까? 생각만 해도 아찔하다.

"피타고라스는 지혜를 사랑한다는 뜻의 '철학(philosophy)'라는 말을 처음으로 사용했으며, 자신을 '철학자(philosopher)'라고 부른 첫 번째 사람이다. 그는 철학의 목적은 '자신이 스스로 설정한 경계로부터 정신을 자유롭게 하는 것'이라고 했다. 피타고라스가 철학을 다루는 데 가장 중요하게 생각한 것은 '수학적 관점'이었다. 그는 수학적 관점을 네 가지로 나누었고, 이것에 대하여 다음과 같이 말했다. "산술, 음악, 기하학 그리고 천문학은 지혜의 근본으로 1,2,3,4의 순서가 있다."" 나도 최근 들어서 수학적 사고의 중요성을 새삼 깨닫게 되었다. 수학에서의 증명이 바로 논리적 사고의 출발점이 아닐까 싶다. 

나는 이 책을 읽으면서 세상을 살아가는 데 있어서 수학적 사고는 반드시 필요하다는 것을 새삼 깨닫게 되었다. 학창시절에 수학을 제대로 배웠더라면 세상을 보다 현명하게 살아갈 수 있지 않았을까? 학교에서 무작정 수학공식만 가르쳐서 학생들을 문제풀이에만 능숙하게 만드는 문제푸는 기계로 전락시키지 않았으면 좋겠다. 문제를 푸는 원리를 제대로 가르쳐서 변형 문제가 출제되어도 당황하지 않고 원리를 응용해서 문제를 창의적으로 풀어내는 능력을 배양할 수 있도록 학교에서 제 역할을 해주면 좋겠다는 생각이 들었다.

＜이 리뷰는 출판사로부터 도서를 제공받아서 작성하였습니다.＞

#피타고라스생각수업 #수학적사고 #수학의재미 #이광연 #유노라이프

나는 수학을 좋아한다. 하지만 나이가 들면서 과거에 배운 수학도 거의 다 잊어버렸고, 새롭게 수학을 공부하기에도 시간이 많지 않다. 설령 배우더라도 단순히 공식을 유도하는 과정만을 알아가는 건 더이상 의미없는 일이다. 그 와중에 찾은 이 책은 단순히 시험문제를 풀기위한 용도가 아니라 실제 생활에서 의문을 품을 법한 내용을 수학적인 사고방식을 적용해 볼 수 있게 한다. 내용도 재미가 있다. 나이가 들수록 이런 책을 꾸준히 읽어줘야 굳어져가는 뇌를 활성화시키기에 도움이 될것같다.