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수학의 진짜재미

중고등학생들이 읽어보면 더욱 와닿는 내용이자 더 재미있게 느껴질 그런 정도의 내용이 아니었나 싶다.

수학의 재미에 대한 책이라, 수학전공자가 쓴 책이 아닐까 싶었는데 저자 분은 의외로 서울대 철학과를 나오신 분이셨고 석사과정에서는 윤리학을 박사과정에서는 수리논리학을 전공하셨다고 하였다.

문과에서 수학을 잘하는 학과가 경제학과일거라 생각했는데 의외로 철학과도 수학을 잘해야 유리하다고 들은 기억이 난다.

철학이란 학문이 우리 생각에는 문과쪽 경향이 강할 것 같지만 논리를 따지기 위해 수학적 사고력도 발달해야하기때문일까?

저자 분 본인도 수학을 쉽고 재미나게 설명할 수 있는 재능이 있다고 스스로 말씀하셨는데 책을 읽으며 정말 공감하였다.

본인이 수학을 잘 풀고 잘 아는 것과 사람들에게 쉽게 이해할 수 있게 설명을 잘하는 능력은 또 다르다.

잘 안다고 잘 가르치는게 동급이 될 수는 없다는 것이다. 적어도 이 저자 분은 본인이 수학을 즐기기도 했지만 우리에게 쉽고 더 실생활 속의 재미와 필요성을 느끼게 하기 위해 더 쉽게 이해시키는 능력이 있으시기에 아, 이래서 수학을 잘해야하겠구나 하는 생각이 강하게 들게 만들어주는 책이 되었다.

고등 입학하는 아이가 수학을 더 좋아하고 재미있게 공부할 수 있는 수학공부법이 있을까? 하는 생각에 다양한 수학관련 책들을 읽어보는 중인데 그중 손에 꼽을 정도로 마음에 든 책이기도 하였다. 우선 작가분 말씀마따나 수학을 왜 공부해야하는지, 그리고 그냥 문제를 풀고 개념을 가르치는데 집중하는게 아니라, 정말 수학의 재미를 느끼게 해주기 위한 발상과 설명들이 재미나서 좋았다.

아이들도 그렇겠지만 특히나 이런 부분이 눈에 확 들어오는 대목이었다.

압구정동의 탄생 논리에 대한 이야기였다.

박정희 대통령이 여러 건설사 대표들을 불러 놓고 한강상류에 댐을 짓기로 하였다고 설명하였다. 그것이 오늘날의 소양강 댐이었고

여러 대기업 회장들이 이 계획을 듣게 되었는데 그중 현대 정주영 회장만이 비서에게 당장 나가서 여름에 물에 잠기는 한강 하류 땅을 모두 사들이라고 지시했다고 한다. 압구정동 현대아파트, 현대고, 현대백화점, 왜 압구정동에 현대현대현대가 있는지에 대한 답변이라 한다.

이게 왜 수학일까?싶지만 분명 수학적 사고력이라고 한다. 저자분이 너무나 부러운 사고방식이라했는데 나 역시 그러하였다.

같은 자리에 있더라도 나도 그렇게 생각을 못했을텐데 말이다.

중학교 과학교과서에서도 나오는 2200년전의 에라토스테네스의 도형의 비율을 이용한 측량방법으로 지구의 크기를 측정하는 방법이 소개되었다.

당시 사람들이 지구가 둥글다는 것을 알고 있었지만 이렇게 오래 전에 지구의 크기를 15% 정도의 오차를 가진 상당히 정확한 값을 알아냈다는 것이 실로 놀라운 일이 아닐 수 없었다.

수학이 만능 도구와 같은 존재임을 두 사례를 들어 알게 해주었고 어마어마하게 돈을 벌어들이는 펀드 매니저와 세계 최고 투자 수익률을 기록하는 회사의 예도 등장하였다. 특히 그 세계 최고 투자 수익율을 기록하는 르네상스 테크놀로지의 경우에는 이 회사에 내돈 1억을 맡기면 9년 후에 약 19억원으로 불린다고 하였다. 르네상스 테크놀로지의 경우에는 주식 투자 경력자보다는 수학자, 컴퓨터 과학자, 암호전문가 등의 수학 전문가를 직원으로 고용하여 그 성과를 내고 있다고 하였다.

수학 하면 기초 학문이라 생각하고, 다른 학문을 공부하기 위한 기본적인 토대가 될지언정, 실제 수익으로 연결되는 직업은 일타 강사 정도만 떠올렸었는데 상상 이상의 힘을 발휘할 수도 있는게 수학이라는 것을 알게 해주었다.

이쯤 되면 정말 제대로 공부하고 싶은 생각이 들게 하지 않을까 싶은 호기심을 제공해주고 동기부여 톡톡히해주는 수학공부법의 시작이 아닌가 싶었다.

몇십년전 내가 중고등학생이던 시절에는 고등수학 하면 정석 한권만 공부하면 되었다. 그 외의 다른 책들도 있었지만 정석 한권 완벽히 마스터하면 왠만한 문제가 다 풀리곤 하였기에 고등수학에 대한 고민이 크게 없었는데 요즘에는 정말 너무나 많은 책이 쏟아져 나오고, 우리 아이만 해도 정석을 제외한 다른 책들을 주구장창 보고 있는데 아직도 정석을 공부한다는 학원들, 특히나 대치동에서 잘하는 아이들은 정석을 꼭 공부한다고 하여 정석으로 다시 되돌아가야하는 것인가 하는 문제에도 직면하고 있는 중이다. 아이가 수학을 어려워하지않고 재미있어하면 좋겠는데 아직까지는 그냥 수동적으로 배우고 익히는 정도인 것 같아서 그 진정한 재미를 알게 해주고 싶었고 그래서 읽기 시작한 책이었는데 아이가 이 책은 정말 꼼꼼히 정독했으면 싶은 생각이 들었다.

방정식에 대한 이야기서부터 행렬, 미적분까지의 확장된 내용들은 물론 위상수학 이야기도 잠시 언급이 되고

저자 분은 고등수학에 국한하지 않고 대학에서 배우는 수학까지 이야기를 하고 싶었다는데 하고 싶은 이야기가 너무 많아 자제를 해야할 정도라고하였다.

아뭏든 그 중 다른 책에서도 종종 언급이 되곤 하던 쾨니히스베르크의 다리 문제도 나왔다.

이 문제를 최초로 제기한 사람은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러(1707~1783년)였는데 이는 세상에서 가장 아름다운 수학공식으로 뽑힌 오일러 공식을 발견한 수학자이기도 하고, 러시아의 쾨니히스베르크의 도시의 프레겔 강에 있는 공원에서 산책을 즐기다가 공원의 두개의 섬과 일곱개의 다리를 보고, 어디서건 마음대로 출발하여 다리를 한번씩만 지나가면서 모두 지나갈 방법이 있을까? 라는 문제를 제기했다고 한다.

그리고 이 문제를 스스로 풀었다고 하였다.

이 문제에 대해 수학공부법에 대한 책들에서 종종 풀어주는 방법이 나왔는데 이 책의 저자분의 설명이 깔끔하여 보다 이해하기 더 쉬웠던 것 같다.

그냥 단순히 공식을 증명해내고 풀이하고 하는 수학문제집같은 책이 아니라 수학의 진짜 재미를 알고, 그 개념을 보다 정확히 와닿게 이해할 수 있는 수학공부법을 뒷받침해주는 책이 아니었나 싶다.

꽤나 인상깊게 보았다.

고등수학 공부에 여념이 없어야할 우리 아들에게 강추해주고 싶은 책이었다.

이 책을 읽고 미적분까지 쭉쭉 공부해보자!

출판사로부터 책을제공받아 직접 보고 작성한 리뷰입니다.

이번에 고른 책은 언제나 수학과 관련된 책을 만날때마다 생각하듯 수학을 그닥 좋아하지 않는 큰아이에게 수학에 대한 관심을 조금이나마 심어 주기 위해 선택한 '수학의 진짜 재미'란 책이다.

요즘들어 조금씩이나마 수학 공부를 하고자 노력하고 있는 큰아이...
어떻게하면 옆에서 작게나마 도움이 될 수 있을까 하면서 선택하게 되는 수학 관련 책들...
가능하면 수학적사고를 키울 수 있는 너무 어렵지 않은 책을 골라서 수학에 대한 관심이 싹트도록 해주고 싶었는데, 마침 이 책이 수학적 사고의 기반을 만들어 주는 책인 것 같아서 아이에게 조금이나마 도움이 될 것 같다는 생각이 들었다.

책을 먼저 읽어보고나니 그런데 수학에 대한 내 생각도 다시 해보게 되었다.
수학이라하면, 어떻게 수학 문제들을 잘 풀고, 어떻게해서 답을 잘 찾아가고 하는 문제 풀이를 중점으로 하는 수학만을 생각했었는데... 책을 읽고보니 수학적사고, 수학문제에 대한 접근방식이 중요한 것 같다.
그러고보면 나는 수학을 좋아했었다고 생각했는데, 아무래도 수학문제를 푸는 것을 재미있어 했던 것 같다.
그래서 아이들을 키우면서도 덧셈뺄셈, 구구단, 도형 같은 문제풀이를 위한 이야기를 주로 얘기했던 것 같다.
계산능력을 향상시키는 것이 수학 능력을 향상시키는 길이라고 잘못 생각했던 듯 싶다.

이 책은 이야기 속에 들어있는 수학의 규칙을 발견하고, 새로운 시각으로 문제 풀이에 접근해 볼 수 있도록 얘기해 주는 책이다. 복잡한 수식보다는 어떻게 개념에 접근하고 수학적사고를 향상시킬 수 있는지...
다양한 재미있는 이야기들과 함께 매우 친절하게 자세히 알려준다.

갑자기 궁금해진 저자.
저자는 수학을 얼마나 전공한 사람인가 하는 생각이 들어서 책을 읽기 전에 앞에서 저자 약력을 봤음에도 불구하고 기억하지 못했기에 다시 찾아보니...
저자는 수학과 출신이 아닌 철학과 출신이란다.
그런데 박사과정에서 수리논리학을 전공했다고...
다양한 분야에 대한 조예가 깊은 저자는 우리가 살아가는 동안 큰 무기가 될 수 있는 수학의 힘을 알리기 위해 노력해 왔다고 한다.

수학을 쉽게 설명하는 재능을 가지고 있다는 저자.
그래서 수학을 어렵게만 생각하는 일반인들에게 수학의 재미를 알려주기 위해 이렇게 책을 출간하게 되었다고 한다. 재미삼아 책을 읽다보면 수학적사고에 접근할 수 있다고...

저자가 강조하는 저자가 마지막에 정리한 것을 적어보면...
수학적사고를 위해 중요한 것은...
수학을 생각의 무기로 만들기 위해 필요한 것은...

문제 자체에서 답을 찾는 것
숨은 규칙성(패턴)을 찾는 것
동어반복의 필연성을 느끼는 것
추상적 아이디어의 의미를 이해하는 것
수학자들의 창의적인 아이디어에 감탄하는 것
그리고 자신만의 수학의 재미를 하나씩 발견해 보는 것

이라고 한다.

아이들의 학습을 위한 수학적 사고의 향상만을 생각할 것이 아니라,
책에서 얘기한 것처럼 복잡한 세상을 명쾌하게 살기 위해 좀 더 수학적 사고를 하면서 살 수 있도록 내 주변의 일에 새로운 시각으로 생각해보도록 노력해야 겠다.

이 책을 큰아이도 그렇지만 둘째아이도 한번 읽어봤으면 싶다.

#서평, #책과콩나무, #수학의진짜재미, #이창후, #좋은날들, #수학적사고, #수학의재미,

＜이 서평은 출판사로부터 도서를 무료로 제공받아 주관적으로 작성한 리뷰입니다＞

수포자에게 던지는 메시지이자 “유혹” 공부해서 남 주니?, 돈 벌게 해줄게

수학은 어떻게 생각의 무기가 되는지 알려줄까, 험한 바다와 같은 사회생활을 하려면 ‘생각’이라는 무기 하나는 꼭 갖춰야 한다. 이 책은 철학을 공부하는 지은이가 수학의 진짜 재미를 알려주겠다고 세상에 자신 있게 내놓은 것이다. 수학의 모든 것이 새롭게 보일 수 있다. 그리고 수학의 많은 것이 평범하고 당연하게 보일 것이다. 우리는 이 단계에서 멈춰버린 ‘수포자(수학을 포기한 사람)’에게 수학을 다시 공부하라는 꼰대급 조언이 백약무효임을 안다. 더구나 이 책 제목처럼 "수학의 진짜 재미"를 운운하면, 이상한 사람이라고 손가락질 할지도 모른다.

그런데 말입니다로 시작하는 TV시사방송처럼 생각의 "방향 전환"을 해보면 어떨까싶다. 사물과 현상은 보는 각도에 따라 달리 보인다. 대학입시와 학교성적의 높고 낮음에 강력한 영향을 미치는 강력한 변수 '수학'이란 장애물이 아무것도 아니게 보일 때가 있다. 이런 현상은 바로 지은이가 말하는 수학의 진짜 재미를 혀끝으로 살짝 맛보는 정도로도 가능하지 않을까 싶다. 수학을 공부하면 생각의 무기를 얻는다. 자, 말을 바꿔서 수학적 사고, 생각의 무기를 갖게 된다면 게임에서 성능 좋은 무기를 가진 자가 이길 확률이 높듯, 수학을 공부하면 돈 벌 수 있다고 한다면 말이다.

수학적 사고?

지은이는 수학의 재미를 찾아 떠나는 여행 8경, 수학의 위대한 힘(1장), 수학이 생각의 무기가 되려면 어떻게 해야 하나를 시작으로, 압구정이 탄생의 논리는 뭘까(홍수피해 상습지역에서 벗어나면 땅값이 오르니), 계산 순서를 바꾸면 어떻게 되지? 라는 물음, 바로 문제 안에 있는 답(2장), 여기에 숨어있는 규칙성을 찾아야, 수학의 핵심은 규칙성에 있으니까, 오죽했으면 수학을 신의 언어라 했겠는가(3장), 수학은 증명을 위해 존재한다고, 하지만 이해하면 너무나 당연하다고 여겨지는데 실제 그럴까를 묻는다(4장), 좋은 것은 단순해(5장), 수학의 신비, 수가 무한하다는 신비 여기에도 패턴, 규칙성이 존재할까, 고정관념 너머에 있는 평범한 진리와 힘이 수학이라면(6장), 수학도 진화한다(7장), 수학은 비어있다(8장). 마치, 수학여행을 잘하려면 놓치지 않고 모든 걸 보려면, 수학의 힘이 무엇인지, 규칙성, 증명성, 고차원성, 신비성, 진화성, 공(비어있음)을 눈여겨보자.

수학은 그저 고리타분한 학문 이상의 인생의 “도깨비방망이”가 될 수도

＜월터의 상상은 현실이 된다＞는 영화처럼, 기술문명의 밑바탕에 깔린 것은 수학의 힘이다. 재미있는 이야기, 현대 정주영 회장의 생각과 2천2백 전에 지구 둘레를 잰 에라토스테네스는 생각, 둘 다 수학적 사고다.

전자는 한강 하류의 상습침수지대는 상류의 소양강에 댐이 생기면 노른자위 땅으로 바뀔 것이라는 상상을, 정주영은 건설업자들이 어떻게 댐을 지어야 돈을 많이 벌 수 있을까를 고민하고 있을 때, 댐은 홍수 때 한강 하류의 범람을 막기 위해 짓는다, 그러면 자주 물에 잠기는 땅이 어디지, 댐이 생기면 이제 그 땅은 물에 잠기지 않게 되니, 라는 문제 안에 답이 이미 나와 있는데, 누구는 알고 누구는 모를까, 이 차이가 ‘생각의 무기’차이다.

후자는 알렉산드리아 도서관장으로 일할 때, 우연히 책을 보다 하짓날 태양의 각도가 위치에 따라 다름을(지구가 둥글다는 것은 당시에 알려졌으니), 그리고 수학으로 증명했다. 실제 거리를 측정하지 않고도 말이다. 이 역시 수학의 힘이다.

돈을 버는 것도 마찬가지, 투자회사에서 일하는 사람들이 전문적인 펀드매니저나 MBA 출신이라는 고정관념 너머에 수학자, 컴퓨터 과학자, 암호전문가 등 수학 능력자들이 포진됐다면 어떻게 생각할 것인가?, 바로 생각의 무기다. 호랑이를 잡으려면 호랑이 굴로 들어가야 하듯, 돈도 명예도 얻고 싶다면 이를 얻을 수 있는 비밀의 열쇠를 손에 넣어야 하지 않겠는가, 이것이 바로 ‘생각의 무기’다. 수학은 생각의 규칙에서 매우 정확하게 생각하는 학문이라는 점에 초점을 맞춘다면 말이다. 좋은 성적을 얻기 위해 넘어야 할 산 ‘수학’은 돈과 기회를 얻을 수 있는 열쇠가 된다면, 후천적 수포자 증후군에서 벗어날 동기가 되지 않을까?,

수학 공식에 관한 "탈공포"

영화 ＜이상한 나라의 수학자＞처럼 오일러공식이 나오고 뭘 입증했고, 노벨상을 받을 만한 천재라는 등, 흥미로운 이야기다. 자, 수포자가 수학자가 되는 과정을 눈여겨보자. 재빠른 숫자 계산이 수학인가?, 수학은 질문 안에 답이 있다는 것을 발견하느냐 못하느냐의 차이라는 것을 알려준다. 오일러의 쾨니히스베르크 다리 문제라는 아주 유명한 이야기도 규칙성을 이해하고 있냐가 열쇠였던 셈이다. 루트와 적분, 미적분 듣기만 해도 기가 질려버릴 것 같은 공식들이 그저 평범하게 여겨진다면, 유클리드 기하학의 공리들, 점, 선, 각, 이러면 벌써 어지럽다. 이것을 탁자, 의자, 맥주잔이라고 하면 어떨까, 수학의 기호는 외우는 게 아니라 이해하는 것이다.

말을 물가까지는 데리고 왔다. 말이 물을 먹던 먹지 않던 그것은 말의 선택이다. 모르면 늘 두렵고 무섭다. 알면 별것 아니듯 말이다.

＜출판사에서 보내준 책을 읽고 쓴 리뷰입니다＞

수학이 재미있다??? 일반적으로 미쳤다고 하죠.
수학을 이해하려 하지 않고, 습관적으로 암기하고 풀이하는데에서 오는 수학의 잘못된 해석이라고 본다.
이런 생각을 나만 하는게 아님을 이 책을 읽으면서 아주 크게 공감하게 되었다.

한동안 TV프로 중 ＜뇌섹남＞이라는 프로를 챙겨보았던 즐거웠던 시기가 있었다. 아주 고난도의 문제들은 아니지만, 수학적이나 공간적인 고정관념에서 벗어나야만 풀리는 문제들이 호기심을 자극했었다.

몇 재미난 문제들을 올려본다. 난센스 비슷한 문제와 베르나르 베르베르의 책 ＜개미＞에 나왔던 문제라는데, 당신도 재미삼아 풀어보세요.

수포자라는 말이 참으로 안타깝게 느껴지는 것이, 단순 입시에서만 적용되는 것이 아니라, 대학에서의 기초수학이 안되어 전공을 하기에 어려움을 느낄수도 있다. 또한 수학적 사고가 요즘 핫한 인공지능과도 절대 동떨어진 분야가 아닐 수 없다.
학생들과 수업을 하면서 항상 ‘최소한으로 일반화시켜라!’라는 주문을 많이 한다. 이는 모든 분야에도 전문가는 아니지만 가장 효율이 좋은 성능을 낸다라는 나만의 삶의 철학(너무 거창하다)이다.
저자는 ‘추상화를 통해 일반성을 키우다보면 그 극단에서는 수학의 기호에 아무런 의미가 남지 않게 된다. 이 단계에서 수학은 단지 무의미한 기호 조작이 된다. 수학적 도통(道通)의 최고 단계라 할 수 있다.’라고 한다.

이 책은 수학이 기호들로 이루어진 어려운 수식을 풀이하는 분야가 아니라, 수학의 진짜 의미를 이해하면 진짜 재미를 찾을 수 있음을 보여준다.

어려운 수학 풀이에 지쳐있는 학생들에게 이 책을 꼭 권하고싶다. 아주 찌는듯한 더운 여름날, 무더위에 시원한 나무 그늘처럼 잠시 쉬어가는 그런 책이 될 듯하다.

   수학의 풀이 과정을 다르게 생각하는 방식으로 잘 설명해 준 책이다. 수학을 어렵게만 생각할 수도 있겠지만 다르게 생각하며 재미있게 접근하면 좋을 듯하다. 사칙연산이 기본이긴 하지만, 확장하면서 이차방정식의 계산, 함수, 좌표평면의 설명, 미적분까지 최대한 쉽게 풀어서 설명해 주어 도움이 된다.

   서두에 생각의 힘 관련해서 정주영 회장의 압구정동의 땅 사는 이야기는 본받을 점이 있다. 지금도 주변에 이러한 일들이 일어나고 있지만 대부분 1차의 생각에 그치는 것 같다. 2차원 사고로 나아가기 위한 생각을 해 볼 필요가 있다. 숫자의 무한에 대한 이야기에서 한국유리공업 주식회사의 설립자 최태섭 회장의 정직 이야기 또한 삶에 꼭 필요한 덕목이 아닐까 생각해 본다.

   다이어트에 대한 수학적 고찰의 유머 있는 이야기도 읽을 수 있다. 늘 시도는 하지만 잘 안되는 이유가 +C의 없던 상수가 생기기 때문인데, 성공하려면 상수를 음수로 만들어야 한다. 꾸준하게 해야 하는데 그것이 어려운 듯하다. 인터넷에 떠돌던 유머들이 재미있는 이유는 엉뚱하면서도 맞는 말이기 때문일 것이다.

   수학이 어렸었던 것은 규칙성을 찾는 것도 있지만, 문제를 꼬아 놓았을 때 방정식을 만들 수 없어 더욱 어려웠던 것 같다. 그 이후 대입법 및 가감법을 통하여 문제 해결하는 방법을 익힌다면 어려운 수학에 한 발짝 다가설 수 있을 듯하다. 지구의 둘레 계산, 원의 넓이 계산 공식은 어떻게 나왔는지, 황금비의 계산 방법 등 다양한 풀이 과정도 볼 수 있다. 외우는 것이 아닌 이해를 해야 생각의 방법도 바꾸면서 재미도 찾을 듯하다. 좋은 것은 단순함에 있다는 생각으로 수학적 사고를 하면 좋을 듯하다.

p.42

평범한 숫자 계산에서, 그 계산 순서를 바꾼 것이 방정식이라 할 수 있다.

p.68

수학의 핵심은 규칙성(패턴)에 있다.

p.121 뉴턴도 이렇게 말했다.

진실은 복잡함이나 혼란 속에 있지 않고, 언제나 단순함 속에서 찾을 수 있다.

p.144

식도 숫자이다

p.200

적분이란? 변화하는 양을 계산하는 것

미분이란? 변화량의 조각을 계산하는 것

[출판사로부터 도서만 제공받았습니다]