크레마클럽

제목이 참 의미심장하다. 수학이 아름답다니.... 도대체 무슨 근거로 그런 얼토당토한 말을 하는 건지 너무 궁금해서 책을 열어보지 않을 수 없었다. 책을 덮으면서 '아.. 이렇게 말할 수도 있겠구나..'라며 고개를 끄덕이는 나를 발견할 수 있었다. 나는 이제 수학을 지겹고 어려운 학문으로만 생각하지 않기로 했다. 

부제가 이렇다. '내 인생의 x값을 찾아 줄 감동의 수학 강의'. x값, y값 같은 것은 공식을 풀때만 사용했지, 개념이 무엇인지 한번도 생각해 보지 않았기 때문에, 수능이 끝나고 공식적인 공부가 끝난 후 x값이라는 것은 내 인생에서 사라져 버렸다. 그런데 내 인생의 x값이라니? 어떻게 내 인생과 함수를 연결지을 수 있지? 함수라는 개념이 여러 가지의 관계에서 발견되는 규칙을 통해 상호 관계의 관련성을 알기 위한 것이고, 그것을 우리 사는 세상과 연결짓는다면 더이상 함수는 공식으로만 존재하는 것이 아닌 것이었다. 그래서 스티브 잡스는 '하루하루'를 오늘이 '마지막 날'이라는 것에 대응시키며 그날 그날 최선을 다해 열심히 살았다고 한다. 즉 살아가면서 어떤 것과 함수 관계를 이루느냐에 따라 저마다의 삶의 방향은 놀라우리만치 달라진다고 저자는 설명한다. 나는 이 대목에서 한 방 맞은 것 같았다. 수학이라는 것이 우리 인생 속에 있음을 깨달은 순간이었다. 그렇다면 내 인생의 x값은 무엇에서 찾을 수 있을까? 나는 '시간'을 '배움'에 대응시키며 하루하루의 시간을 끊임없이 배우며 앞으로 발전하고 있다고 생각한다. 그래서 인생이 유의미하게 흘러갈 때 만족하고 보람을 느끼게 된다. 그러므로 내 인생의 x값은 '배움'이다. 이렇게 생각하니 내 인생이 한 마디로 요약되면서 깔끔하게 정리되는 느낌이다. 어렵고 지겨운 수학이 아닌 삶을 풍요롭게 해주는 도구가 되었다. 

초등학교나 중학교에서 배운 모든 다각형의 외각의 합은 360도라는 개념이 있다. 그 개념이 수학책에만 존재할 때는 무미건조하고 재미없는 사실이었는데, 그것을 발견한 사람이 있고, 발견과정을 추리해 본다면 정말이지 놀라운 일이 아닐 수 없다. 이를 알아낸 사람은 데카르트이고 정삼각형의 성질을 알아낸 사람은 유명한 가우스이다. 이러한 수학이자 자연의 법칙을 발견한다는 것은 참으로  아름다운 일인 듯 싶다. 우주의 비밀에 가까이 다가갈 수 있다는 환희마져 느끼게 해 준다. 그런데 만약 도형적 특성을 유지하던 물질인 돌이 갑자기 변화하여 구멍이 생긴다면 위상적인 변화가 생겨나고 그것은 더이상 돌이라고 할 수 없게 된다. 삶에 지쳐있을때 사람에게도 위상적인 변화가 필요하고 자신의 현실을 뛰어 넘을 수 있는 구멍을 만들어야 한다고 저자는 말한다. 수학적 개념이 내 인생의 변화를 유도하고 있다. 내 본질을 변화시켜주는 구멍은 바로 이 수학책이라고도 말할 수 있다. 수학에 대한 내 생각을 완전히 달라지게 만들었으니까. 앞으로 나는 수학과 관련된 책을 자주 접하며 인생과 우주에 대한 비밀에 좀 더 가까이 다가가고자 한다. 수학이 이토록 아름다운 학문이기에.

 '서가명강' 시리즈의 세 번째 책은 수학을 주제로 한 [이토록 아름다운 수학이라면]이다. 그런데, 이전에 읽었던 이 시리즈의 책들과 달리 이 책에서는 왠지 우려와 걱정의 시선을 보내게 된다. 도대체 숫자와 기호가 아닌 글로써 수학을 어떻게 설명하고자 하는 것일까? 또한 수학이라는 영역을 과연 어떻게 확장시켜서 우리의 공감을 이끌어내고자 하는 것일까? 하지만 이러한 걱정이 불필요한 것이라는 것을 알기까지는 그리 오래 걸리지 않았다.

 이 글을 보는 순간 저자의 의도에 감탄을 금치 못했다. 기하학의 기초라 할 수 있는 점과 선, 도형만으로도 우리의 삶을 매칭시킬 수 있으니 이외의 다양한 수학의 모습을 통하여 많은 진리와 교훈을 얻을 수 있으리라 예상되었기 때문이다. 그리고, 실제로 그러한 것들을 곧 목격하게 되었다.

 

 자연수와 짝수의 일대일 매칭을 통하여 그 집합의 농도, 즉 원소의 개수가 동일하다는 것을 보여주는 사례는 무한의 의미를 새삼 실감하게 되는 부분이다. 'f(n) = 2n'(단, n은 자연수)이라는 식은 모든 자연수를 짝수에 매칭시킬 수 있음을 보여준다. 논리적으로 생각한다면 분명 짝수는 자연수의 일부임에도 불구하고 n이 무한하게 존재한다면 그에 매칭되는 짝수 역시 무한하기 때문에 위의 식으로 매칭되는 자연수와 짝수는 그 농도가 같다는 것이다. 이것은 단순히 수학적인 깨달음에 그치는 것이 아니다. 하루살이와 인간의 삶, 인간과 지구의 삶을 비교해 본다면 절대적인 관점에서는 그 차이는 엄청날 수 있다. 그러나, 위에서 언급된 매칭과 무한의 개념을 도입한다면 하루살이의 하루는 인간의 삶과 매칭시킬 수 있으며, 인간의 삶도 지구의 생애와 역시 매칭시킬 수 있음을 알 수 있다. 이를 통하여 그 순간을 의미있게 보내라는 만고의 진리를 수학에서 찾을 수 있음을 우리는 알게 된다.

 

 '수(數)'가 원래 존재했던 것인지 아니면 인간이 만들어 낸 것인지에 대한 논의도 눈길이 가는 대목이다. 자연수부터 실수와 허수의 개념을 포함하는 복소수에 이르기까지의 과정을 살펴 본다면 '수(數)' 역시 정적이 아닌 역동적인 것으로 다가오게 된다.

 우리가 배운 수학 과정을 떠올려 본다면 저자의 이러한 설명은 어렵지 않게 납득할 수 있게 된다. 예전에는 학년이 올라갈수록 '자연수 -＞ 정수 -＞ 유리수 -＞ 실수 -＞ 복소수'라는 숫자의 확장을 마주하면서 그저 점점 수학이 어려워지는 것만을 느꼈다. 그런데, 이러한 숫자들이 바로 수학의 발전 과정에서 직면하는 문제들을 해결하기 위하여 인간이 많은 연구를 통하여 만들어낸 것이기에 왠지 인간의 삶의 과정과 크게 다르지 않음을 느끼게 된다. 그래서, 저자는 수학을 역동적이라고 말하면서 우리로 하여금 수학을 통하여 우리의 삶을 떠올릴 수 있게 해주고 있는 것이다.

 

 수학을 통하여 진리를 찾을 수 있고, 또 그 수학이 인간의 삶과 크게 다르지 않다는 이 책의 내용은 나를 비롯하여 수학을 그저 입시를 위한 수단으로만 생각하고 있던 우리들에게 확실히 수학의 새로운 면을 바라보게 만든다. 이는 수학이 그저 문제를 푸는 것에 그치는 것이 아니라 그것이 우리가 철학적으로 고민하는 과정과 크게 다르지 않다는 점에서 수긍하게 된다. '모든 사람은 평등하다'라는 문구에서 우리는 그 말을 그대로 받아들이지 않는다. 현실에서 '모든'은 100%를 의미하는 것이 아니기 때문이다. 저 문구를 지향하는 현재에서조차 여전히 불평등이 존재하고 있기 때문이다. 그러나, 수학은 '모든'의 의미를 완벽하게 충족시키고 있다. 수학에서 말하는 정답은 바로 '모든'을 염두해 두어야 하기 때문이다. 그렇기 때문에 수학에 대한 아래의 저자의 말은 그저 수학에 대한 자아도취처럼 보여지지 않는다. 오히려 그동안 진정 알지 못했던 수학의 또 다른 의미처럼 다가온다.

 

 오늘날 우리의 교육 현실을 수학을 통하여 들여다보는 저자의 관점 역시 인상적이다. 한국 학생들의 수학 실력은 상당한 것으로 알려져 있다. 하지만 그 수학 실력이 대학에 들어가기 위한 문제를 푸는 최적의 방법에 한정된다는 점은 참으로 안타까울 뿐이다. 심지어 대학에 들어가면 그 수학은 전공자를 제외한 대부분의 학생들의 관심 밖으로 사라지게 된다. 이러한 것이 그리 새로울 것이 없지만, 저자는 이것을 페르마의 마지막 정리를 증명한 와일스의 이야기를 통하여 지적하고 있다. 평생을 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것에 전념했던 그가 결국 자신의 증명 방법을 세상에 발표했지만, 그 방법은 약간의 오류가 있었기에 사람들로부터 인정을 받지 못했다. 와일스는 다시 1년간 연구를 거듭하여 결국 증명하는 것에 성공을 거두었는데, 이를 통하여 우리의 수학 교육이 입시 위주의 문제 풀기 기술에 그치고 있다는 점과 더불어 절대 실수를 허락하지 않는 것과 연관짓는 부분은 이 시대의 많은 사람들이 한번쯤 생각해 볼 부분이 아닌가 싶다.

 

 한국의 교육에 대한 저자의 쓴소리는 곱씹어 생각해 볼 필요가 있다. 공식만 알면 문제를 어렵지 않게 풀 수 있다는 생각으로 다양한 문제 풀이에만 몰두하는 교육 체계는 장기적으로 퇴보를 가져올 뿐이다. 오늘 접한 수능 문제에 스페셜 문제라는 이름으로 교사 또는 교수들도 수 십분을 고민해야 하는 문제가 출제된다는 뉴스도 이러한 저자의 우려를 현실로 보여주는 부분이라는 생각이 든다. 그 스페셜 문제에 대한 공식을 안다면야 곧바로 풀 수 있지만, 그것을 풀기 위하여 기본적인 실력을 쌓는 것이 아니라 그 문제가 나오기를 기대하며 많은 문제를 풀면서 그 방법을 암기하는 우리의 교육은 확실히 개선할 필요가 있다. 

 

 이러한 한국의 교육으로 인하여 이 책을 빌어 저자가 말하는 수학의 다양한 의미를 우리는 제대로 깨닫지 못했던 것은 아니었을까 생각된다. 저자 역시 이러한 현실 속에서 차라리 수학을 흥미가 생겨서 스스로 하고픈 마음이 들 때 하는 것이 가장 효과적이라고 밝히고 있다. 아닌게 아니라 수학을 입시 수단으로 생각하면서 어느덧 수십년 째 수학에 손을 놓고 있던 수많은 사람 중 하나였던 내가 갑자기 수학을 공부하고 싶어졌기에 저자의 말이 응원처럼 느껴지게 된다. 그동안 책 속의 글을 통하여 많은 것을 배우고 깨달아 왔지만, [이토록 아름다운 수학이라면]을 읽는다면 숫자와 도형 역시 글과 다를 것이 없지 않을까? 우리의 삶 속으로 들어와서 마음 속에만 존재하던 관념을 보다 구체적으로 형상화함으로써 사유의 시선을 높일 수 있다는 수학에 대한 저자의 생각은 그래서 충분히 공감할 수 있게 된다.

 

( 이 리뷰는 예스24 리뷰어클럽을 통해 출판사에서 도서를 제공받아 작성되었습니다. )

수확은 보편적 진술을 찾는 학문이다. 어느 곳에서는 작동하지만 다른 곳에서는 그렇지 않은 것은 보편적이지 않다. 어느 시대에는 사실이지만 다른 시대에는 사실이 아닐때 보편적이지 않다. 항상 언제나 같은 대답을 할 수 있는 것 그게 수학이고, 수학의 아름다움이란 이토록 바스러지기 쉬운 사회에서 변하지 않는 성질들을 기술하기 때문이다. 하지만 수학은 또한 인간의 능력 내에서 이해되는 것들에 대한 진술이다.

이런 면에서 볼 때, 불변하는 것이란 인간의 눈으로 귀로, 뇌로 불변하는 것으로 아는 것 것들이다. 다시 말해, 아무리 수학이라 하더라도, 인간의 인지 능력이 닿지 않는 저 너머에 있을 수 있는 예외적 상황에 그 모든을 적용하여 단언할 수 없다. 따라서 ‘모든’ 이라는 표현은 무한을 포함하고 있기 때문에 다루기 어렵다. 아무리 보편적인 개념이라도 ‘모든’ 이라는 말을 사용하는 순간 인간의 인지 범위를 벗어난다. 이 ‘모든’을 ‘임의의’라는 말로 바꾸면 난제를 해결된다.

유클리드 기하학이 불변의 진리가 되려면, 지구가 둥글고, 그래서 지구에, 땅에 직선을 계속 그으면 시작한 선과 만난다는 사실을 인정하지 않아야 한다. 유클리드 기하학이 보편적 기초 수학에  여전히 파워를 발휘하고 있는 이유는 지구 스케일의 문제가 일상적 스케일의 문제에서는 크게 대두되지 않기 때문이다.

한 때 수학은 철학이자 종교였다. 그리스인들은 자연을 해석하고 묘사하는 방법으로서의 한 측면과 플라톤의 이데아 처럼 영혼을 고결하게 하는 종교이자 하나의 진리라는 한 측면에서 접근했다.

“피타고라스는 숫자의 논리적 속성을 통해 어떤 현상에 담긴 깊은 의미를 파악할 수 있고 또한 숫자 자체에 완벽한 구조를 통해 영원하고 불변하는 존재를 경험함으로써 우리의 영혼이 더 높은 세계를 지영은 문학의 된다고 생각했다  “

피타고라스 학파를 비롯한 그리스 철학이 중세에 이르러서 사그러들은 이유는 하느님의 말씀이라는 모순되는 진리가 수학의 고결함이 종교화 이상화하는 것을 용납할 수 없었기 때문이다. 그리스 정신을 복원하려는 르네상스 시대에 이르기까지 서구에서 수학의 발전은 그리스 시대에서 더 앞으로 나가지 못하고 후퇴해왔다. 저자는 르네상스 시대에 수학의 재발견에 대해 다소 부정적인 견해를 나타낸다.

하지만 데카르트 이후 수학의 실용적인 방향으로의 전환은 수학을 자연과학의 아버지 또는 반대로 자연과학의 시녀로,  논리를 전개하는 하나의 수단으로 전락하게 했으며, 그리스인들이 원래 가지고 있던 이데아라는 목적적 개념을 잃게 한다는 것이다.

그리스 사람들이 수학에 철학적 의미를 부여한 까닭을 생각해본다. 숫자 자체가 가지고 있는 구조와 미라는 게 무엇일까, 피타고라스가 만물의 근원이라는 결론을 내린 숫자는 우리에게 투쟁이 과열화된 사회상을 의미한다. 나는 왜 수를 종교화 하였는지 공곰히 생각해보았다. 하나 둘 셋 수를 세다 보면 무한이라는 개념과 맞닥뜨린다. 무한은 하나 둘 셋 처럼 뚜렷하고 명확한 추상은 없지만, 그것이 밤을 새도 평생을 세어도 끝나지 않은 영원에 가 닿기 때문이 아닐까 한다. 하지만 인간은 유한하며, 인간의 수 역시 유한하며, 일상에서 만나는 숫자들은 유한의 숫자들이 대부분이다. 어떻게 무한을 만날까. 이 책에 답이 있다. 집합론의 창시자 칸토어는 ‘두 집합 사이의 일대일 대응 관계가 성립하면 두 집합의 농도 즉, 원소의 갯수의 크기는 같다고 정의함으로써 자연수 집합의 농도와 그의 부분인 짝수 집합의 농도가 같음’을 일대일로 대응 시켜 보여주었다.

저자는 하루살이와 인간의 삶을 비교하면서, '인간에게 하루살이의 인생은 단 하루겠지만 하루살이는 그 하루 동안 짝을 만나 새끼를 낳으며 인간의 100년과 다를 바 없는 삶을 살며,  마찬가지로 1초 안의 시간의 농도와 1조년 안의 시간의 농도가 갖고, 1조년 시간의 농도와 1조 1조 년 동안의 시간이 농도가 갖고... 이런 식으로 1초 안에서 무한한 시간을 느낄 수 있"음을 역설하였다.

1. 책 크기와 책 분량이 작은데도 불구하고 가격이 상당하다는데 놀랍고
2. 쉽게 이해할 수 있다고 하는데 나는 이해가 잘 되지 않아서 놀랍고
3. 수학이 아름답고 궁극에는 감동이라는데 음.. 아직은 장 모르겠어서 놀랍고
4. 인생과 수학의 맞닿음이 공감되지 않아 놀랍고

여러가지 면에서 놀라운 책이다.

원래 책을 사면 그날 책을 읽지 않는 편이다.
아낀다고 해야되나.
아니면, 내것이 된 이후에 흥미가 반감되어 벌써 싫증이 났나고 해야하나.

어렵기만한 수학에 대해
‘광고대로’ 어떻게 쉽게 전개해 나갈까 기대에 찼지만
나에게는 여전히 어려운 수학.

수학에 대한 지적 호기심은 충만하나
이해력이 딸려 저자의 의도를 따라가지 못하는
상황이 웃프다 ㅋ

수학에 관한 교양서적이라면 이언 스튜어트라든지 김민형 등을 비롯하여 꽤 읽었다. 모두 저자들은 스스로는 재미있게 썼다고 하고, 학창 시절 이후로 수학에 흥미를 잃어버린 이들이 다시 수학에 흥미를 가질 수 있도록 하려고 노력했다고 했다(이언 스튜어트는 그런 범주에 들어가지는 않는다). 하지만, 그런 다짐과 노력이 꼭 성공했다고는 보여지지 않는다. 가장 성공했다고 한다면, 김민형 교수의 『수학이 필요한 순간』 정도이지 않을까 싶다.

 

최영기 교수의 『이토록 아름다운 수학이라면』는 기존의 수학 교양도서와는 분명히 다르다. 아마도 가장 말랑말랑한 수학 교양도서일 듯 싶은데, 수식을 최대한 억제한 것 외에도(그것만으로 대중을 위한 수학책이라고 하기에는 뭔가 부족하다는 것은 많은 책들이 보여준다) 이야기를 풀어가는 품새가 그렇다. 수학을 얘기하지만, 거기에 결부된 사회를 얘기하고 인간을 얘기한다. 물론 그 연결이 좀 억지스러운 부분이 전혀 없지는 않지만(특히 노예해방선언에 수학의 정신 부분이 그렇다), 그렇다고 전혀 엉뚱하다고도 할 수 없다. 수학이 선천적으로 존재했던 것이든, 아니면 인간이 발명한 것이든 어찌 되었든 인간의 역사와 함께 해왔고, 그것으로 인간의 문명이 발달해왔다는 것을 부인할 수는 없다. 따라서 수학을 이해하는 게 인간을 이해하는 것으로 이어지는 것은 당연하다고 할 수 있다.

 

최영기 교수가 수학에 대한 얘기하는 방식이 그렇다. 수학사를 정연하게 늘어놓지도 않고, 수학의 이론을 정교하게 펼치지도 않는다. 그렇지만 수학에서 놓치지 말아야 할 것을 간결하게 알려주고 있다. 수학이 쉽다고도 하지 않고, 그렇다고 어렵다고도 하지 않는다. 다만 감동스럽고, 아름답다고 한다. 언뜻 이해되지 않을 수도 있지만, 나의 전공에서 그런 순간이 종종 찾아온다는 것을 생각해보면 수학자가 그런 얘기를 하는 게 전혀 어색하지는 않다. 정합성을 생명으로 하는 수학이 그 정합성이 고도로 실현되는 순간이 어찌 감동스럽지 않겠는가.

 

유클리드의 『원론』 얘기를 자주 한다. 아마 나도 여러 차례 읽었겠지만, 이렇게 반복적으로 거론하고 그 의미를 얘기하는 것은 거의 기억에 없다(잊었을 수도 있다). 겨우 다섯 개의 공리(postulate)를 바탕으로 465개의 명제를 증명해낸(!) 이 『원론』이야말로 인류 역사에서 가장 소중하고도 위대한 성취, 혹은 성취의 바탕이라고 할 수 있다고 한다. 유클리드나 그를 배태해낸 그리스의 문명 자체가 그렇다고 생각했다. 제목이 그렇다. 제목이 “수학의 원론”이 아니라 그냥 “원론(elements)”다. 모든 것의 근본이라는 뜻이며, 그 의미는 그 책이 단지 하나의 학문 분야에 대한 게 아니라 모든 문명의 근본이 된다고 여겼던 것이다. 그게 수학이라는 얘기다. 새로 알게 된 것은 양피지에 쓴 그 책에 다섯 개의 공리는 진리임으로 굳이 그림을 그리지 않았지만 그로부터 파생되는 465개의 증명에는 모두 그림을 넣었다는 것이다. 진리는 직관적으로 파악할 수 있다는 생각과 그러한 진리로부터 새로운 사실을 알아내는 과정의 진지함을 느낄 수 있다. 아직까지 이를 몰랐다는 게 의아할 정도다. 비록 비유클리드 기하학이 나왔지만, 아직까지도 우리는 거의 유클리드의 세계에 살고 있다고 해도 과언이 아니다. 수천 년 전 단 몇 개의 전제로부터 수많은 증명을 이루어 낸 그 세계. 인류는 그때부터 위대했다.