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 조던 엘렌버그는 어렸을 때부터 수학 신동이라고 한다. 9세에 대학 과정 시작, 12세에 SAT수학 만점. 구제 수학 올림피아드에 세 차례 출전해 금메달 2개와 은메달 1개 수상. 하버드 박사 학위에 2004년부터 위스콘신 주립 대학 수학 교수로 재직 중이라고 한다. 또한 소설 작법으로 석사 학위를 받고 메뚜기 왕이라는 소설을 썼을 정도라니 정말 놀랍다. 그리고 아마존 킨들의 스포트라이트 기능을 이용해 토마 피케티의 '21세기 자본'을 구입한 사람들이 평균적으로 불과 2.4%만 읽었다는 점을 분석했다고 한다. 그런데 이 책의 표지를 보면 뉴욕타임스 베스트셀러에 2016 오일러 북프라이즈를 받았다고 나온다. 뉴요커들은 모두들 아니, 대부분 이과생 정도의 수학 실력을 가지고 있으며 이 책을 읽고 다 이해한 것일까? 정말 기가 막힌다. 아니, 존경한다.

 읽었다. 글자를 읽었다. 하지만 다 이해할 수 없다. 읽으면서 절망에 절망을 했다. 왜 이렇게 어렵게 쓴 것일까. 읽으면서 어려워서 저자 조던 엘렌버그가 웃고 있는 얼굴을 자꾸 들여다봤다. 이 얼굴이라도 들여다 보면 왜 이렇게 썼는지 이해할 수 있지 않을까 싶어서. 그리고 대체 수학 천재란 사람은 어떻게 생긴 것일까 계속 궁금했다. 그리고 나의 멍청함에 자책을 했다.

 중요한 것은 수학은 어디에 써먹을 수 있을까 하는 의문이 들지만 결국 세상을 제대로 헤쳐나가는 방법을  알 수 있다는 것이다. 그래서 여기에 문제가 있다. 이 책을 이해하지 못하면 난 계속 잘못된 결정을 해나가고 실패, 후회를 거듭할 것이란 것이다. 수학을 잘 활용할 수 있다면 자칫 잘못하기 쉬운 일들을 제대로 할 수 있다는데 이 책 시간 날 때마다 들여다보고 이해하려고 노력해야 하지 않을까.

 피타고라스의 정리와 도형, 미적분, 수열, 평균, 그래프, 통계, 확률 등 다양한 수학을 생활의 예를 들어 설명하고 있는 것은 장점이다. 수학을 좋아하는 사람들은 좀더 흥미진진하게 이 책을 읽을 수 있겠다. 특히 복권에 관련한 부분이 여기저기서 상당하게 나온다. 우주는 방대하기 때문에, 발생 확률이 낮은 사건에 놀랄 태세를 갖춘 사람은 언젠가 반드시 그런 사건을 만나게 된단다. 확률이 낮은 사건은 많이 일어나기 때문이란다. 세상에서는 누군가에게 늘 그런 일이 벌어지니까. 우연의 일치란 대개 적당히 거리를 두고 바라보면 놀라움이 사라지는 법이라고. 이 사실을 처음 깨달은 사람은 아리스토텔레스라고 한다. 비록 확률에 대한 형식적인 개념은 몰랐으나 '일어나기 힘든 일은 일어날 가능성이 있다. 그 점을 이해한다면, 일어나기 힘든 일은 반드시 일어난다고도 말할 수 있다.'는 것을 아리스토텔레스가 이해했단다. 이 문장을 보고 갑자기 무한한 가능성의 힘이 느껴졌다. 수학, 이 어려운 것을 다 알 수는 없으나 일어나기 힘들지라도 내게 일어날 수 있다면, 반드시! 인생에서 다른 이들이 해봤다는 도전을 해볼만 하지 않을까 하는 긍정이었다.

수학을 이야기로 가르칠 수는 없을까? 영희가 빨간공 2개를 철수가 검은공 3개를 가졌다. 철수와 영희가 가진 공은 모두 몇 개인가 수준이 아니라, 진짜 이야기로 된 수학 말이다. 그러니까 MMORPG의 퀘스트 같은 걸 만들어 보자는 것이다. 학습자가 단계별로 원리를 파악하고 스스로 생각해 문제를 해결한 뒤 마침내 계산을 하는 것. 세상이 이토록 많이 변했음에도 우리의 교육은 20세기 초나 지금이나 크게 달라진 것이 없다는 건 정말 놀라운 사실이다.

아마도 효율이 문제였을 것이다. 정해진 시간 안에 배워야 할 걸 모두 가르치기 위해선 수학을 '개념화'해 상자 안에 담아야 했을 것이다. 이야기는 너무 길고 거창하다. 어떻게 평가를 해야하는지도 마땅치 않고. 그렇다고 백년이 넘는 시간 동안 이 문제를 그대로 방치해왔다는 건 이 업계의 근무태만도 어느 정도 원인이 있다고 봐야 할 것이다. 드론이 날고, 운전자없는 자동차가 다니는 시대가 아닌가.

우리가 학교에서 배운 것들을 쓸모없다고 생각하는 이유는 실제로 그게 쓸모가 없기 때문이다. 사람들이 깊이 있는 지식보다 별거 아닌 상식이나 명언 따위에 오히려 열광하는 이유를 생각해보자. 이런 분야의 지식들은 확실히 뭔가 하나를 '알았다'는 느낌이 든다. 어디가서 아는 척이라도 할 수 있는 것, 결국 쓸모가 있다는 것. 결국은 이게 사람들의 마음을 움직이다.

배워도 아무 쓸모가 없는 교육 중 최고를 꼽으라면 아마 수학일 것이다. 지겹도록 외웠던 근의 공식은 지금 어디에 있지? 2차원 평면에 눈이 빠져라 좌표를 찍어 기울기와 절편을 구했던 경험은? 가방 안에서 그 빌어먹을 빨간공과 검은공을 꺼내는 일은 또 어떤가? 나는 그 대목에서 거의 실신할 뻔했다! 수포자가 생기는 이유는 전적으로 교육의 문제다.

그런데 여기 메사추세츠 복권 사업에 뛰어든 MIT 학생들이 있다. 그들이 매주 30만장씩 로또를 사서 구매 금액의 3배가 넘는 수익을 올렸다면 믿겠는가? 그들은 각 등수의 당첨금에 당첨 확률을 곱해 기대값을 계산했다. 그 기대값이 충분한 수익이라는 게 밝혀지자 이 천하의 운빨 게임은 예측이 가능한 '일'로 바뀌었다. 그들은 최초의 전업 로또 구매자가 됐다.

이들이 사용한 방법이 바로 수학이다. 곱셉만 알면 누구나 적용 가능한 평범한 이론이었다. MIT 학생이어서 할 수 있었던 게 아니다. 수학이 이 세상이 돌아가는 원리를 설명하는 학문이라는 걸 알았기 때문이다. 그들과 우리 사이에 차이가 있다면 그들은 누가 알려주지 않아도 그 본질을 스스로 꿰뚫은 반면 우리는 누가 알려주지 않으면 결코 알지 못한다는 것이다. 반대로 생각해 누군가 우리에게 가르쳐주기만 하면 우리도 그들처럼 될 수 있다. 근대의 공교육은 원래 알려주지 않아도 알아서 깨우치는 천재들을 위한 게 아니다. 알려주지 않으면 깨닫지 못하는 둔재들을 일깨워 그들을 똘똘한 아이로 만드는 것이다. 이는 경제 발전을 위해 튼튼한 '중산층'이 필요하다는 말과도 일맥상통한다.

＜틀리지 않는법 - 수학적 사고의 힘＞은 내가 그토록 찾아 헤매던 수학에 '대한' 책이다. 모든 이야기들이 실생활과 밀접한 관계를 맺고 있어 수학이 우리와 함께 호흡하고 살아가는 이론이라는 사실을 깨닫게 해준다. 이 책은 어떤 물질이 암을 일으키는 것과 무관함이 밝혀졌다는 연구 발표를 어떻게 받아들여야 하는지를, 흡연이 폐암을 일으킨다는 말이(상관관계) 왜 흡연을 하면 폐암이 생긴다(인과관계)와 다른지를 알려준다. 무려 600쪽에 달하는 책이지만 전혀 지루하지 않다. 이런 사람에게 수학을 배웠다면 우리 모두의 인생은 확실히 달라졌을 것이다.

사람들은 보통 수학을 확실성과 절대적 진리의 영역으로 여긴다. 어떤 면에서는 맞는 말이다. 그러나 수학은 또한 불확실한 것에 대해서 추론하게 하게끔 해주는 수단, 불확실성을 완전히 길들이진 못할지언정 어느 정도 다스리게끔 해주는 수단이다. 수학은 우리에게 원칙적인 방식에 따라 확신하지 않을 방법을 알려 준다. (p. 549)

합리적인 사람은 자신의 믿음이 각각은 모두 참이라고 믿지만 그 중 일부는 거짓이라고 믿는다. (p. 554)

책의 큰 Chapter는 선형성, 추론, 기대, 회귀, 존재의 5개로 나뉘어져 있다. 이 구분만 보면 벌써 머리가 아프다고 할 사람들도 있지 않을까 한다. 그러나 책에서 다루는 내용은 수학의 정석에서 취급하는 수준과는 다르다. 분명히 수학의 내용이 나오니까 골치 아픈 게 없지는 않지만 책의 주 내용은 수학 공식이나 문제 풀이에 관한 것이 아니다. 오히려 수학이 우리 생활에 미치는 영향, 수학을 통해서 우리가 견지해야 할 합리성 등을 강조한다. 제목과 인용한 내용이 글쓴이의 의도를 알려준다.

지금은 다른 글에서도 가끔 보게 되는 아브라함 발드의 이야기, 즉 전투기의 어느 부분에 더 장갑을 보완해야 할 것인가에 대한 논의는 이 책에서 처음 보았다. 그것도 단순히 상식적인 논의에 의해 통찰력을 발휘한 것이 아니라 수학적인 정리를 통해 자신의 주장을 명료하게 입증하기까지 한 것을 보고 수학의 힘에 대해 다시 생각하게 되었다. 정확히 수치화할 수는 없겠지만 발드의 정확한 문제 인식으로 취해진 명확한 조치로 많은 조종사들의 목숨을 구할 수 있었을 테고 2차 세계대전의 이른 종식에도 영향을 미쳤으리라 추정해본다. 수학 자체도 중요하겠지만 수학적 사고방식의 가치와 의미에 대해 되돌아보는 기회가 되었다.

나는 학창 시절에 다른 과목은 곧 잘 한 편이었지만 수학과 물리는 영 젬병이었다. 수학 성적만 어느 정도 되었더라면 더 나은 대학에 진학할 수 있었을 텐데 하는 아쉬움을 대학 초에 품고는 했었다. 지금에서야 ‘그거 다 팔자야.’라고 하고는 있지만. 이토록 이해력이나 문제풀이력이 떨어졌던 수학을 사회생활 시작하면서 다시 들여다볼 기회가 종종 생겼는데 그때마다 든 생각이 ‘왜 이걸 그때는 이해하지 못했을까?’였다. 나중에라도 이해한 부분들과 그로부터 연유된 사고방식을 업무에 활용하기도 했으니 수학 못했던 것에 대한 후회는 오래 가지 않았다. 수학을 잘한 적이 한번도 없지만 수학적 사고방식의 가치를 인정하는 사람으로 살고 있으니 아주 못 산 것 같지는 않다고 자위한다.

어느 정도 이해를 요하는 영역인데다 양이 많아서 금방 읽어낼 수 있는 책은 아니다. 하지만 시간을 가지고 천천히 읽어낸다면 직관적으로나 감성적으로 어떤 의사결정을 내리기 보다는 데이터에 기반해서, 불확실한 부분이 존재함을 감안하면서 확률적으로 기대값이 더 높은 대안을 선택해야 함을 알 수 있게 된다. 또는 현재 확률이 낮은 대안을 성공시키기 위해 어떤 조치를 취해야 할 것인지 생각하게도 한다.

현재의 상태보다 조금 더 합리적 사고를 하기를 원하는 이라면 읽어볼 가치가 충분하겠다.

아는 이가 내게 다음과 같은 얘기를 했었다.

자신은 고등학교 때 수학은 정말 좋았다고. 언제나 답이 딱딱 떨어지니까 말이다. 반면에 국어는 그렇지가 않았다고.

짐작할 만하지만, 그이는 공대 출신이다. 나도 수학을 못했던 것은 아니지만(좀 오글거리긴 하지만 못했던 편이라기 보다는 잘했던 편이다), 그 의견에 크게 동의는 할 수 없었다(물론 그 자리에서 반박하지는 않았다). 우선은 정답이 반드시 존재해야 하는 상황이 과연 바람직한 것인가 하는 데 대한 의심이 있고, 또 하나는 고등학교 수학이야 그럴 수 있고, 나아가 공대의 수학이야 그럴 수 있다고 하더라도 수학이 얼마나 모호한 문제를 다루고 있는지를 조금은 인식하고 있었기 때문에 그렇다.

하지만 수학에 대한 일반적인 인식은 그렇다. 그 수학이라는 과목을 잘 하든, 못 하든 수학은 분명한 답을 내주는, 혹은 내기를 강요하는 학문이라는 것 말이다. 그래서 좀 인간적이지 못한 느낌을 주는, 그런 분야. 거기에서 좀 더 나가면, 세상은 그렇게 수학처럼 딱딱 떨어지는 것은 아니다라는 항변? (그러나 세상은 수학으로 이루어져 있다.)

조던 엘렌버그의 『틀리지 않는 법』은 바로 그 수학에 대한 얘기다. 그런데 묘한 것은 제목이다. ‘틀리지 않는 법’이라니. 처음에는 그러려니 하고(그래, 수학이란 틀리지 않는 법을 가르쳐 주는 학문이지) 읽다 보면, 그게 아니란 걸 알 수 있다. 이 ‘틀리지 않는 법’이란 항상 ‘정답’을 알려준다는 의미가 아닌 것이다. 수학이란 참 많은 것을 할 수 있으며, 현대 사회 곳곳에 포진해 있지만, 항상 옳을 수 있는 방법이 아니라 그저 틀리지 않는 법을 알려주는 것이 수학이라는 얘기는 미묘하지만 분명한 차이가 있으며, 저자가 하고 싶은 얘기이다.

『틀리지 않는 법』은 다섯 부분으로 구성되어 있다. 각 부(part)의 제목은 선형성, 추론, 기대, 회귀, 존재. 참 삭막하고 재미 없는 제목들이다. 수학 얘기라서 그런가 싶지만, 각 부에서 각 장의 제목들은 전혀 그렇지가 않다. 이를테면 1부 ‘선형성’이라는 제목 아래에 포진되어 있는 장의 제목들은 이렇다. ‘덜 스웨덴스럽게’, ‘국소적으로는 직선, 대역적으로는 곡선’, ‘모두가 비만’, ‘미국인으로 따지면 몇 명이 죽은 셈일까?’, ‘접시보다 큰 파이’. 그러니까 전형적으로 흥미로운 얘기를 하겠다는 뜻이다. 바로 수학을 바탕으로. 이 ‘선형성’이라는 제목 아래에서 통계를 이해하는 데 있어서 선형적으로(다른 말로 하면, 별 고민 없이라고 해도 그리 틀린 것 같지는 않다) 해석하는 데 대한 문제점을 낱낱이 분석하고 있는 셈인데, 그것도 우리가 흔히 접하는 내용들을 가지고, 흥미롭게 접근하고 있다.

그 밖에 ‘2부 추론’에서는 통계에서 p-값의 문제점, 즉 추론을 하는 데 있어서 어떤 기준으로 데이터의 차이를 의미 있게 볼 것인가에 대한 문제를 제기하면서 (당연히) 베이즈 추론을 알려주고 있으며, ‘3부 추론’에서는 주로 복권 얘기를 통해 기대값에 대한 우리가 흔히 잘못 이해하고 있는 기대값에 관한 얘기를, ‘4부 회귀’에서는 평범으로의 회귀와 흡연과 폐암 사이의 관계에 관한 역사적 논의를 하고 있다. ‘5부 존재’에서는 선거 제도에 관해서 모순점과 그 모순과 관련한 수학을 얘기하고 있다(물론 수학적으로는 형식주의에 관한 복잡하고도 심각한 논의이기도 하다).

재미있는 얘기도 많고, 우리 생각의 허점을 그대로 파고드는 얘기도 많다. 그래서 당연히 흥미롭고 유익하지만, 항상 쉬운 것만은 아니다. 그러나 수학이라는 단어에 지레 겁먹을 만큼은 아니라는 것만은 분명하다.

수학은 강력한 돋보기다. 순전히 이론적인 논의에서부터 시작한 수학은 언젠가는 현실 세계의 다양한 이슈들을 설명하고, 새로운 세계를 만들어내는 강력한 수단이 된다는 것을 이 책은 잘 보여준다. 더더욱 중요한 것은 수학을 공부하는 이유를 이 책은 잘 보여준다는 것이다(그 얘기부터 시작하고 있다. 그게 목적이라는 얘기다). 이런 얘기들이다.

“수학은 불확실한 것에 대해서 추론하게끔 해주는 수단, 불확실성을 완전히 길들이진 못할지언정 어느 정도 다스리게끔 해주는 수단이다. ... 수학은 우리에게 원칙적인 방식에 따라 확신하지 않을 방법을 알려 준다.” (549쪽)

즉, 수학은 의심하게 한다. 머뭇거리게 하며, 그 머뭇거림이 바로 행동이다.

참 다른 수학이다.

* 이 책은 데이비드 핸드의 『신은 주사위 놀이를 하지 않는다』와 상당히 유사한 느낌을 준다. 같은 수학이라서 그렇고, 불확실성을 다루는 점에서 더욱 그럴 수 밖에 없다. 다루는 예들도 겹치는 것이 적지 않다. 그러나 분명히 다르다. 『신은 주사위 놀이를 하지 않는다』는 얇고, 『틀리지 않는 법』은 두껍다는 것만이 아니다. 『신은 주사위 놀이를 하지 않는다』는 현실 세계에 적용되는 수학적 논의에서 많이 나아가지 않지만, 『틀리지 않는 법』은 수학에서 자꾸 벗어나고자 시도를 한다. 결국에 그것도 수학이지만 말이다. 앞의 책을 읽고, 뒤의 책을 읽으면 훨씬 도움이 된다.