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세상을 이해하는 아름다운 수학 공식

이 책은 처음부터 차근차근 읽어야 한다.

＜프롤로그＞부터 차근차근 차분하게 읽어가야 한다. 우리들, 중고등학교에서 수학을 배운 후 전공자 빼고는 수학책을 펼치는 일은 없었을테니까, 새롭게 배운다 생각하고 이 책 ＜프롤로그＞ 에 있는 다음과 같은 수학 기초 원리부터 읽어보도록 하자.

연산의 순서, 분수의 단순화 (약분), 거듭제곱과 루트,

방정식 풀기, 공식, 부등식,

피타고라스의 정리, 괄호의 전개(확장), 인수분해.

‘약분’이란 말 오랜만에 들어본다. ‘루트’ 역시 오랜만이다.

그렇게 준비운동을 마친 다음에 본격적으로 공식이 얼마나 아름다운지 살펴볼 차례다.

공식이란 

대수를 이용해 양(Quantities) 사이의 관계를 보여주는 수단이다. (20쪽)

 

이 책에서 다루고 있는 공식은 모두 18개, 다음과 같다.

피크스의 기하학적 증명

드레이크 방정식

SIR 모델

부채꼴의 넓이와 부피

피타고라스 정리의 3차원 버전

물체의 속도 계산법

뉴턴의 가속도의 법칙

뉴턴의 만유인력의 법칙

....

....

이런 법칙들 이름 알아놓자는 게 아니다. 이런 법칙들을 어떻게 활용할 수 있는가, 가 문제다.

이런 공식들, 어떻게 쓰이는가 

피크스의 기하학적 증명 :

복잡한 다각형 전시실을 감시하는 데 필요한 인원을 산출할 수 있다.

특히 오목 다각형 전시실에서 필요한 인원을 계산할 때 유용하다.

드레이크 방정식 :

이런 방정식이 있다는 게 놀랍다. 이 공식은 외계 문명이 존재할 확률을 계산하는 것이다.

방정식이 어떤 것인지 구경이라도 해보자.

N = R* × fp × ne × fl × fi × fc × L

(공식에서 × 는 표기하지 않으므로)

N = R* fp ne fl fi fc L

N = 우리 은하 내 교신이 가능한 지적 외계생명체 문명의 수.

R* = 우리 은하 내에서 1년 동안 탄생하는 항성의 수.

fp = 위의 항성들이 행성을 가지고 있을 확률.

ne = 항성에 속한 행성들 중에 생명체가 살 수 있는 행성의 수.

fl = 위 조건을 만족한 행성에서 생명체가 발생할 확률.

fi = 발생한 생명체가 지적 문명으로 진화할 확률.

fc = 지적 문명이 탐지 가능한 신호를 보낼 수 있는 확률.

L = 위의 조건을 만족한 지적 문명이 존재할 수 있는 시간. (연)

SIR 모델 :

질병의 전파와 영향을 예측하는데 쓰인다.

 

부채꼴의 넓이와 부피 :

이 공식은 유출된 기름의 영역을 단시간에 파악할 수 있다.

물체의 속도 계산법:

움직이는 차를 따라잡기 위한 속도를 계산하는데, ‘물체의 속도 계산법’이 쓰인다.

속도, 거리, 시간은 상호작용, 즉 서로 연결되어 있어 이 중 두 가지를 알면 나머지 한 가지도 알 수 있다

......

......

더 자세하고 구체적인 설명은 책을 참조하시라. .

이에 대하여 몇 가지 적어둔다.

중력에 관하여

우리 몸을 구성하는 원자들의 질량을 모두 더하면 몸의 질량이 된다. 달이나 궤도를 도는 우주정거장에서 가도 이 질량은 변하지 않는다. 거기서도 우리 몸은 같은 원자로 구성되어 있을 것이기 때문이다.

우리 몸의 질량을 잴 때에는 

우리 몸의 모든 원자를 분류하고 계량할 수 없기 때문에 보통 무게를 잰다.

무게는 지구 중심쪽으로 우리 몸을 끌어당기는 중력이 일으키는 일종의 힘이며 몸의 질량에 비례한다. (109쪽)

 

행성의 중력을 이용한다.

1977년 보이저 탐사선 2대가 목성, 토성, 천왕성, 해왕성으로 가기 위해 출발했다.

이들 행성을 모두 거치도록 경로를 짜는 일은 힘드는 일이었다. 각각의 행성에 접근할 수 있도록 경로를 세밀하게 계산한 후에, 각 행성의 중력을 이용하여 궤도를 다음 행성 쪽으로 휘게 만들어야 하기 때문이다

이렇게 어려운 과정을 거친 후, 이 두 탐사선은 비행을 계속하고 있다. 42년 동안의 여행을 한 후 이 탐사선은 220억 킬로미터 넘게 떨어진 성간 공간에 진입했다. (186쪽)

새롭게 알게 된 것들

광년 : Light year

1 광년은 시간의 단위가 아니라 빛이 1년 동안 움직일 수 있는 거리를 말한다. (45쪽)

 

다시, 이 책은 

책 제목을 접했을 때, 뭐 그게 아름답기까지 할까? 

수학 공식이 아무리 세련됐다고 해도 아름다울까, 생각했다.

그런데 읽다보니, 수학 공식이 일 처리를 아주 깔끔하게 해주는 것을 보면서, 생각은 이렇게 바뀌었다. 공식이 아름답긴 하군!

이런 방정식, 그 구체적인 적용을 우리는 알아차리지 못하고 있을지라도 이 세상을 변화시키는데 유용하게 쓰이고 있다는 것은 확실하다. 위에 기록한 행성의 중력을 이용하여 탐사선의 비행 궤도를 산정하는 것이 그 예이다. 정말 신기하다, 그래서 아름답다.

수학이라는 것이 학교를 다니면서 넘을 수 없는 벽으로 느껴졌던 것은 이해도 못한 공식을 이용해 무언가를 풀어야 했는데 이것을 문제에 대입이 시키는 것이 어려웠던 것 같다. 그래서 항상 나는 살아가면서 필요한 수학은 산수만 알면 되는데, 왜 이리 주요과목이라는 이유로 날 괴롭히는가 하는 생각이 많이 들었던 것 같다. 하지만 잘은 모르지만 어른이 된 지금 21세기 북스에서 나온 [세상을 이해하는 아름다운 수학공식]이라는 수학에 관한 책을 읽다보니 드는 생각은 내가 점수를 따야하는 나름 긴박한 상황에서 성적을 올려야 했기 때문에 생활과의 연관성을 잘 느끼지 못해서 더 재미없는 과목으로 생각했다는 생각이 들었다. .

이번 책은 수학을 잘 하는 사람에게는 그냥 당연하다라고 말할 수 있을지 모르겠지만, 나는 수학이 어려웠던 사람이라 좀더 이해를 돕기위해 여러 상황 속에서 대입하여 알려주는 이번책을 읽고 좀더 어려운 수학과 친해질 수 있는 계기가 된듯하다. 배운지 오래되었지만 부채꼴의 넓이와 부피를 왜 배워야 하는지 항상 궁금 했었던 중학교 시절의 나의 모습이 떠올랐다. 나에게 딱히 필요도 없는데 말이다. 그런데 이번 책에서 배에서 기름유출 사고가 났는데 부채꼴 모양으로 퍼지고 있다는 가정하에 기름막의 부피를 계산하는 방식을 책에 적어놓았는데, 수학이라는 것이 나에게 필요성을 못느꼈던 것이지 어떻게 쓰이고 있는지 알려주니 필요없는 학문이 아니었다는 것을 알 수 있는 시간이었다.

그리고 이 책은 프롤로그에 저자의 이야기도 들어있지만 수학에서 배웠던 기초 개념들에 관한 것들을 연산의 정의를 시작으로 거듭제곱, 루트, 방정식 등 중고등 학교를 다닐 때 사용했던 수학의 용어를 설명해 주니 조금씩 생각이 났다. 그리고 이번 책에서 재미있었던 것은 복리 이자 계산법에 사용되는 오일러 방정식 이었다. 계산 공식은 복잡해 보이지만 이를 이용하여 계산되는 방법에 대한 이야기는 재미있게 느껴졌다.

수학이 시간이 흘러도 정의가 변화되지 않는 것을 보면서 수학자들이 대단한 분이라는 생각을 종종하곤 했었다. 세상이 하루가 다르게 변화하면서 상상이었던 것이 현실로 다가오고, 그러한 것들 것 만드는 밑면에는 항상 수학적 계산이 숨어있었다는 것을 알게 되는 책이었다. 이번책은 수학의 개념과 친숙해 질 수 있게 해주는 도서라 수학에 관심이 많던, 수학이 나와의 생활과는 동떨어져 있다고 생각이 들었던 경우라도 좀더 친숙도를 높여줄 수 있는 책이라 추천드리고 싶다.

[ 이글은 출판사로부터 도서를 협찬받아 주관적인 견해에 의해 작성했습니다 ]

요즘 수학이나 과학이 실생활에 어떻게 적용을 해볼 수 있는지, 혹은 어떤 원리가 숨어있는지를 알려주는 책들이 많이 나오고 있어서 찾아서 읽는 재미가 솔솔하다.

이런 도서들도 난이도가 다양하고 서술에 차이점들이 있다. 그런 중에서도 꽤 친근하게 즐길 수 있는 수학적 사고에 대한 책이 바로 ‘세상을 이해하는 아름다운 수학 공식’일 것 같다.

보안전문가가 되어 복잡한 다각형 전시실을 감시하는 법,

외계인이 보낸 신호를 받는다면 어떻게 하면 최단시간 여행하여 만날 수 있을까,

부채꼴 모양으로 유출된 기름의 영역을 단시간에 파악해서 문제를 해결해야 한다면,

저기 움직이는 차를 따라잡아야 한다면 얼마나 속도를 내야하는지, 시간은 얼마나 걸릴지..

샌드백은 얼마나 무겁게 만들어야 하는 걸까,

좀비가 나타난다면 그 전파와 영향을 예측해보기,

무게와 중력의 관계, 농구 슛을 성공시키기 위한 최고의 각도는 몇 도일까,

추락하는 비행기가 땅에 떨어지는 시간을 계산해 본다면,

우주여행에 필수적인, 우주왕복선 운동에너지와 중력위치에너지를 구하는 법,

복리 이자 계산법: 오일러 방정식,

외계 문명의 메시지를 해독의 기본, 에라토스테네스의 체,

많은 사람과 악수를 신속하게 해야한다면?,

모임에서 좌석 배치를 위한 경우의 수를 따져본다면...,

맛있는 반숙을 위한 온도와 시간은 

반물질, 에너지를 만들기 위해 필요한 물질, 등

18가지 방정식을 각각 적용한 18가지 내용들을 다뤄주고 있다.

상황을 주고, 이 상황에 적용할 수 있는 수학적 사고를 심플하게 풀어주고, 각 챕터마다 마지막 몇 장에는 재밌는 관련 내용들을 더 넣어서 지식의 폭을 넓혀주고 있었다.

피스크의 기하학적 증명, 드레이크 방정식, SIR모델, 피타고라스 정리의 3차원 비전, 뉴턴의 가속도의 법칙, 물체의 수평, 수직 운동 방정식, 낙하산 방정식, 오일러 방정식, 열역학 방정식, 아인슈타인의 상대성 이론 등, 이렇게만 보면 머리부터 아파올 것 같은 어려운 내용들을, 흥미 있는 사건들과 조건들에 집어넣어보니, 나와 상관없이 느껴졌던 수식들이 갑자기 친근하게 느껴졌다.

심지어 연필을 들고 같이 계산도 해봤다는 ㅎㅎㅎㅎ

수학이 어디에 쓰여요? 하는 질문은 이 책을 읽으면 쏙 들어갈 것 같다. 적극 추천하고픈 책이다.

_‘당신의 비행기가 북극 빙하에 추락했다. 기온은 영하 20도이고 생존자 중에 이 정도 추위를 막아줄 수 있는 옷을 입은 사람은 없다. 어떻게 하겠는가?’

이럴 때 어떤 이들은 물의 온도가 0도 밑으로 떨어지지 않으며, 온도가 그보다 더 내려가면 얼음이 된다는 사실을 떠올린다. 그렇다면 모두 물에 뛰어들어 ‘따뜻함’을 유지해야 할까 

...

하지만 답은 뛰어들어선 안 된다는 것이다. 열전도율 때문이다. 물의 열전도율은 공기 열전도율의 20배가 넘는다. 공기가 더 차긴 하지만 물은 당신 몸의 열기를 20배는 더 빨리 빼앗아 간다._[‘더 빨리 얼어 죽는 방법?’에서/ 열역학 방정식 챕터]

중학생 시절 수학선생님이 수업시간에 뜬금없이 주말에 있었던 마라톤 경기 얘기를 하시며 무심코 티비를 보다가 마라톤 선수들이 평균적으로 백미터를 몇초쯤으로 달릴까 궁금해 계산을 해봤더니 21초쯤이라 하셨던가.. 달리기를 못하는 나는 그저 내 전력질주가 마라톤선수들은 두시간이 넘는 시간을 평균적으로 달리는 속도구나,라며 감탄만 했던 기억이 있다. 그런데 세상을 이해하는 아름다운 수학 공식,이라는 책 제목을 봤을 때 그 생각이 가장 먼저 떠올랐다. 누군가의 전력질주는 백미터도 버겁지만 누군가에게는 두시간이 넘는 시간일수도 있고 그것이 또한 능력의 최고치일수도 있고 또 노력일수도 있고.

아마 '세상을 이해하는' 아름다운 수학 공식이라는 것은 그렇게 수학적으로 낯선 세계를 이해할 수 있는 걸 배우게 되지 않으려나,하는 기대감이 있었는지도 모르겠다. 

그런데 가장 현실적으로 와 닿는 것은 예금이자의 복리계산식이려나? 아름다운 세상을 이해하는 수학공식이 아니라 세상을 이해하는 아름다운 수학 공식이니 내게 필요한 부분이라면 그것이 곧 아름다운 것일지도 모르겠다며 웃었는데 사실 이 책을 처음 읽기 시작했을때는 흥미를 갖고 재미있게 읽을 수 있었지만 뒤로 넘어갈수록 방정식을 이해하고 푸는 시간이 조금씩 늘어나면서 이론적인 개념만 이해하고 슬쩍 넘어가곤 했다. 달리는 기차를 따라잡는 속도를 계산하는 시간에 이미 기차는 떠나버리고 말겠다,라는 생각이 들었달까. 하지만 계산식의 결과물을 얻는 것과 논리적으로 계산식을 유출해내는 것은 또 다르니까 우리의 삶을 더 풍요롭게 만들 수 있는 수학의 방정식은 필요한 것이라는 생각이 들기도 한다. 

수학을 잘 하는 것과 각도와 거리 힘의 조절을 통해 당구대의 공을 잘 맞추는 것은 다르다는 말도 있지만 체화된 경험을 통해 쌓은 당구실력만큼 눈짐작으로 수학공식을 이용해 당구공을 치는 것도 좋은 실력이 될 수 있었다는 친구의 말도 타당하다는 생각이 드니, 수학의 무쓸모를 이야기하는 누군가에게 이 책을 읽어보라고 해주고 싶어진다.

피타고라스의 정리외에는 거의 들어본적이 없는 오일러의 방정식, 드레이크 방정식 등이 뭔지는 잘 모르지만 복리이자 계산식이라거나 외계인이 존재할 확률, 슛을 성공시킬 수 있는 각도, 스턴트맨이 가속이 붙은  샌드백을 가장 멋지게 차낼 수 있는 샌드백의 무게는 얼마나 될까 등의 이야기는 호기심과 궁금증을 갖게 한다. 이러한 이야기들을 통해 방정식과 여러 법칙들을 설명하며 미지수의 값을 구하는 과정이 설명되어 있는데 천천히 잘 읽어보면 수학을 잘 모른다해도 전혀 이해할 수 없는 것은 아니다. 특히 책의 앞머리에 수학 방정식의 기본 개념이해가 설명되어 있어서 - 정말 기본중의 기본인데, 나는 수학식에서 괄호를 빼면 무조건 순서대로 계산을 해도 다 맞는다고 생각했고 그 생각이 틀렸다는 걸 깨우치며 수학의 기본이 없다며 좀 부끄럽기도 했다. 사실 단순계산은 어렵지도 않고 그 어렵지도 않은 걸 또 계산기가 해 주니 그리 큰일인가 싶기도 하지만.

방어선을 뚫고 들어 온 좀비 하나가 한번에 두 사람을 물어 좀비화시켰을 때 인간과 좀비의 대결은 어떻게 될 것인가를 방정식으로 풀어내며 결국 인간이 살아남는다는 이야기는 그 스토리만으로도 재미있었지만 팬데믹 상황에서 여러 데이터를 통해 바이러스의 전파 속도와 방어체제애 대해서도 적용할 수 있다는 것은 수학방정식의 쓸모에 대해 더 크게 와 닿는 문제이기도 하다. 이런 부분이 바로 "원주율 파이(π)가 생존의 파이(pie)가 될 수 있다"는 저자의 유머코드를 확실히 이해하게 해 주고 있다. 물론 여기서 가장 중요한 것은 원주율 파이를 생존의 파이로 바꾸고 파이를 나누는 과정에서 틀린 방정식을 들이밀며 맞다고 할 수 있는 것을 우리가 제대로 알고 검토할 수 있어야 하는 것이겠지만.

인문계와 이공계의 선택의 기로에서 수학 공부의 어려움을 느끼고 인문계를 선택한 '수포자' 중 한명이었다 보니 학창시절에 수학과 별로 친하지 않았고, 졸업하고 나서도 이공계도 아니었기에 수학과 담을 쌓고 지내왔다. 더구나 수학을 공부해야만 했던 학창시절에 어려운 수학이론을 공부해야 할 필요성을 느끼지 못했기 때문에 더욱 수학과 멀어졌던 것 같다. 하지만, "세상을 이해하는 아름다운 수학 공식"을 통해 실생활에서 수많은 수학이론이 적용된 분야들이 많다는 사실을 알게 되었고, 이를 미리 알았다면 수학이 어렵더라도 좀더 흥미를 가지고 공부하지 않았을까하는 아쉬운 생각이 들었다.

현재 수학교사로 재직 중인 저자가 쓴 "세상을 이해하는 아름다운 수학 공식"은 18개의 대표적인 수학 공식이 우리 생활에서 어떻게 사용되고 있는지를 흥미진진하게 소개하고 있는 수학교양서이다. 저자는 '수학방정식은 러시아워에 운전할 때 앞차와의 안전거리를 유지할 수 있도록 도움을 줄 뿐만 아니라 자동차 보험료를 계산해야 할 때도 유용하다'고 프롤로그에서 소개하고 있다. 운전시 앞차와의 안전거리가 고속도로에서는 얼마이고 시내도로에서는 얼마라는 것이 단순하게 설정된 숫자가 아니라 수학적으로 계산하여 나온 기준이라는 것을 생각해 본 적이 없었기에 흥미로웠다. BIDMAS라 부르는 연산의 순서, 분수의 단순화, 거듭제곱과 루트, 방정식 풀기, 부등식, 피타고라스의 정리, 괄호의 전개, 인수분해에 대해 간단명료하게 소개하고 있는데, 참 오랜만에 보는 수학의 기본 개념들이어서 반갑고 재미있었다. 

본격적으로 총 18장에 걸쳐 어렵게 느껴졌던 수학 공식들이 어떻게 활용되는지를 소개하고 있는데, 그 중에서도 복잡한 다각형 전시실을 효율적으로 감시하기 위해 기하학이 어떻게 적용되는지, 질병의 전파와 영향을 예측하는 SIR 모델, 유출된 기름의 영역을 단시간 안에 파악하는 부채꼴의 넓이와 부피 계산법, 복리이자를 계산하는 오일러 방정식이 인상적이었다. 

현재 전세계적으로 대유행하고 있는 코로나바이러스의 확산과 관련한 예측이 나올 때마다 어떻게 산출하는지 궁금했는데, 이 책에서 소개한 SIR 모델이 사용되고 있다고 하니 수학이 우리 일상에서 밀접하게 활용되고 있음을 다시 한번 실감할 수 있었다. 코로나 바이러스가 눈에 보이는 좀비같은 존재였다면 대부분의 사람들이 사회적 거리두기를 자발적으로 실천했을 것이라는 저자의 견해도 인상적이었다. 

또한 우리나라 서해안에서도 기름 유출사태로 인해 많은 이들이 기름제거를 위해 노력했던 일이 있었는데, 이러한 사고에서도 수학에 의해 피해면적이 계산되었었다고 하니 놀라웠다. 뉴스에서 피해 면적이 소개되었어도 어떻게 산출했을까라는 생각을 못해봤었는데, 부채꼴의 넓이와 부피 계산법이 사용되었다고 해서 흥미로웠다. 

13장 오일러 방정식에서 복리이자 계산법에 관한 설명을 읽으며 매월 조금씩이라도 적금을 하는 것이 얼마나 유익한지 다시 한번 실감할 수 있었고, 2장 드레이크 방정식과 14장 에라토스테네스를 읽으며 영화 '컨택트'와 '인터스텔라' 등이 생각이 났다. 먼 우주에 존재하는지 아직 알 수 없는 외계인의 메시지를 발견하고 소통하는 분야는 실생활과 직접적인 관련이 없는 분야이지만 앞으로 우주여행 시대에 필요한 분야가 아닐까 라는 생각이 들었다.  이 책을 한번 읽었다고 책에 소개된 18가지 수학공식을 완벽하게 이해하고 응용해서 문제를 풀 수 있지는 않지만, 수학이 우리의 삶과 무관하지 않고 여러 문제들을 풀어나가고 예측하는데 있어서 어떻게 활용되고 있는지를 배울 수 있었다.